Zählen von Freiheitsgraden bei Vorhandensein von Einschränkungen

Die Anzahl der physikalischen Freiheitsgrade (DOF) oder dynamischen Variablen ist einfach die Anzahl der verallgemeinerten Positionen, deren Entwicklung durch eine zeitliche Differentialgleichung zweiter Ordnung gegeben ist. Unter Verwendung der Notation des OP ist die Anzahl der DOF

$${1\over 2}(N-2M-S)$$ Beispielsweise ist in der Elektrodynamik der Phasenraum sechsdimensional $\{A_i,F_{0i}\}_{i=1}^3$und das Gaußsche Gesetz ist eine erstklassige Beschränkung. Daher $N=6,\, M=1, S=0$. Es gibt also zwei DOF, die den zwei Polarisationen elektromagnetischer Wellen oder den Helizitäten der zwei Photonen entsprechen.

Man kann einen alternativen und äquivalenten Standpunkt einnehmen, aus dem der Phasenraum besteht$\{A_{\mu},F_{0\mu}\}_{\mu=0}^3$und neben dem Gaußschen Gesetz hat man die Zwangsbedingung erster Klasse$F_{00}\approx0$(das Symbol$\approx$"schwach Null" gelesen wird und Null bedeutet, wenn die Einschränkungen verifiziert sind, können Sie perfekt schreiben$=$), die Poisson mit dem Gaußschen Gesetz vertauscht, und beide sind daher erstklassige Zwangsbedingungen. Dann$N=8,\, M=2, S=0$und die Anzahl der DOF ist natürlich immer noch zwei.

Im Fall des Gravitationsfeldes ist die Zählung von DOF analog. Der Phasenraum besteht aus$\{h_{ab},p_{ab}\}_{a=1,b=1}^{a=3,b=3}$, mit$h_{ab}$die Komponenten der räumlichen Metrik und$p_{ab}$ihre konjugierten Impulse. Die Vier$(0,\mu)$Einstein-Gleichungen sind keine dynamischen Gleichungen – da sie keine zeitlichen Ableitungen zweiter Ordnung enthalten – sondern Zwangsbedingungen erster Klasse. Somit$N=12,\, M=4,\, S=0$so dass die Zahl der Freiheitsgrade zwei ist, was den zwei Polarisationen der Gravitationswellen entspricht.

Betrachten Sie jedoch den Fall des Procca-Feldes (ein vektorielles Massenfeld$m$). Nun besteht der Phasenraum aus$\{A_{\mu},F_{0\mu}\}_{\mu=0}^3$und es gibt zwei Einschränkungen$\partial_i\, F_{0i}=m^2A_0$– Ich denke an eine Theorie mit keinen Materiefeldern außer dem vektoriellen Feld, wenn man weitere Felder hinzufügt, dann gäbe es eine Ladungsdichte$\rho$auf der rechten Seite – was sich auf das Gaußsche Gesetz reduziert, wenn$m=0$Und$F_{00}=0$wie im elektromagnetischen Fall. Aufgrund des Massenterms tauschen die beiden Einschränkungen jedoch nicht Poisson aus, daher sind die Einschränkungen zweitklassig. Somit$N=8,\, M=0, S=2$und die Anzahl der Freiheitsgrade ist drei, was den drei Helizitäten eines massiven vektoriellen Teilchens entspricht.

Mit$M$Es sollten dort Beschränkungen der 1. Klasse auferlegt werden$M$Messgerät-Befestigungsbedingungen.

Also die Dimension des physikalischen Phasenraums$^1$Ist$N-2M-S$.

Die Dimension des physikalischen Konfigurationsraums$^2$Ist$\frac{N-2M-S}{2}$.

Mit anderen Worten, es gibt$\frac{N-2M-S}{2}$physikalische Freiheitsgrade (dof), vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

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$^1$ Der Phasenraum ist der Raum der verallgemeinerten Orte und Impulse.

$^2$ Der Konfigurationsraum besteht aus verallgemeinerten Positionen.