In der modernen Logik wird universellen Aussagen die existentielle Bedeutung entzogen. All S is P kann also immer noch wahr sein, wenn es überhaupt kein S gibt.
Widersprüchliche Aussagen müssen entgegengesetzte Wahrheitswerte haben.
Warum ist die widersprüchliche Beziehung zwischen "Alle S ist P" und "Einige S sind nicht P" in der modernen Logik?
Es gibt 2 Fälle, einen, in dem es mindestens ein Objekt gibt, das S ist, einen, in dem dies nicht der Fall ist.
Wenn es kein Objekt gibt, das S ist, dann muss „Einige S sind nicht P“ falsch sein, weil es die Existenz von mindestens einem Objekt impliziert, das S und nicht P ist. Aber in einer Welt ohne S, „Alle S ist P" muss nicht wahr sein. Es ist denkbar, dass es auch falsch ist. Bedeutet dies nicht, dass es einen Fall gibt, in dem beide Aussagen falsch sind?
Warum in der modernen Logik:
widerspricht „All S is P“ „Some S is not P“?
Denn „Alle S ist P“ ist ∀x(Sx → Px) ; indem wir es negieren, erhalten wir: ¬∀x(Sx → Px) .
Aufgrund der Äquivalenz zwischen ¬∀ und ∃¬ ist dies wiederum äquivalent zu:
∃x¬(Sx → Px) .
Nun ist in der Aussagenlogik ¬(R → Q) äquivalent zu: (R & ¬Q) , und somit erhalten wir schließlich:
∃x(Sx & ¬Px) .
Wenn wir also „Alle S sind P“ verneinen, erhalten wir: „Einige S sind nicht P“.
Was passiert, wenn es kein Objekt gibt, das S ist ? Offensichtlich ist „Some S is not P“ falsch, weil ∃x(Sx & ¬Px) falsch ist.
Aber "All S is P" ist wahr, weil es ∀x(Sx → Px) ist und eine Bedingung mit einem falschen Antezedens wahr ist .
Wenn es keine S s gibt, dann ist Sx → Px wahr für jeden möglichen Wert von x , und somit ist ∀x(Sx → Px) wahr.
In einer Welt ohne S gilt „All S is P“ . Sie müssen sich merken, wie es in der Logik erster Ordnung formuliert ist:
∀x(Sx→Px)
Da es keine S-Dinge gibt, ist die Implikation immer (vage) wahr.
Es gibt also keinen Fall, in dem „Alle S sind P“ und „Einige S sind nicht P“ beide falsch sind.
Noah Schweber