Coulomb-Gauge-Fixierung und "Normierbarkeit"

Die Einrichtung

Lassen Sie griechische Indizes summieren 0 , 1 , … , d und lateinische Indizes vorbei 1 , 2 , … , d . Betrachten Sie ein Vektorpotential EIN μ an R d , 1 definiert, um transformieren als zu messen

EIN μ → EIN μ ' = EIN μ + ∂ μ θ
für eine reellwertige Funktion θ an R d , 1 . Die übliche Behauptung über die Befestigung des Coulomb-Messgeräts ist, dass die Bedingung
∂ ich EIN ich = 0
dient zur Fixierung der Lehre in dem Sinne, dass ∂ ich EIN ich ' = 0 nur wenn θ = 0 . Das übliche Argument dafür (soweit ich weiß) ist das ∂ ich EIN ich ' = ∂ ich EIN ich + ∂ ich ∂ ich θ , also die Coulomb-Eichbedingungen auf EIN μ und EIN μ ' geben ∂ ich ∂ ich θ = 0 , sondern die einzige hinreichend glatte, normierbare (Lesbegue-integrierbare?) Lösung dieser (Laplace-)Gleichung auf R d ist θ ( t , x → ) = 0 für alle x → ∈ R d .

Meine Frage

Was ist, wenn überhaupt, die physikalische Rechtfertigung für die Glattheits- und Normalisierbarkeitsbeschränkungen der Eichfunktion? θ ?

EDIT 26.01.2013 Motiviert durch einige der Kommentare möchte ich folgende Frage hinzufügen: Gibt es physikalisch interessante Beispiele, bei denen die Messuhr funktioniert θ nicht glatt und/oder normalisierbar? Referenzen mit mehr Details wären willkommen. Lubos erwähnte, dass in solchen Fällen vielleicht Monopole oder Solitonen beteiligt sein könnten; Ich möchte mehr wissen!

Prost!

Gute Frage, die deutlich allgemeiner ist als die Fixierung des Coulomb-Messgeräts!
@MichaelBrown Danke! Ja, ich lerne gerade etwas Sugra, und dieses Argument, das das Verschwinden glatter, normalisierbarer Lösungen der Laplace-Gleichung ausnutzt, scheint ziemlich oft aufzutreten, zum Beispiel wenn man bestimmte harmonische Eichfeldkomponenten eliminieren möchte.
Glätte von θ wird benötigt, weil EIN μ das durch Ableitungen von modifiziert wird θ muss kontinuierlich bleiben - oder glatt, aber eine Stufe schwächere Anforderung an die Glätte als für θ . Die Normalisierbarkeit bedeutet nur das θ divergiert nie in der Masse des Raumes und nimmt im Unendlichen ausreichend schnell ab. Wenn dies nicht der Fall ist, müsste man über Monopole, Instantonen usw. diskutieren, aber diese Dinge sind kein Thema für die U (1) -Eichtheorie.
Auf jeden Fall sind "ausreichende Glätte" und "Normierbarkeit" Bedingungen, die in der Physik oft gefordert werden und Physiker nicht viel Zeit mit solchen Sachen verbringen - es sind aus verschiedenen Gründen natürliche physikalische Bedingungen. Mathematiker sind oft von diesen mathematischen Details besessen – sie werden für strenge Beweise benötigt –, Physiker jedoch nicht. Tatsächlich denken Physiker genau das Gegenteil von dem, was Sie vermuten lassen. Sie würden davon ausgehen, dass Funktionen in der Physik ausreichend glatt und gut funktionieren – und wenn einige von ihnen dies nicht sind, würden sie besorgt oder alarmiert werden.
@joshphysics: Um die Antworten zu fokussieren, könnten Sie vielleicht auf ein paar Referenzen hinweisen, bei denen Sie auf diese Verwendung des Wortes normalisierbar gestoßen sind?
@LubošMotl Ich vertrete den Standpunkt, dass sich Physiker normalerweise keine Gedanken über solche Dinge machen, obwohl es sicherlich einfache Fälle gibt, in denen die Diskontinuität physikalisch relevanter Funktionen wichtig ist; Betrachten Sie beispielsweise die Diskontinuität des elektrischen Felds über einer Oberflächenladung. Vielen Dank für den Hinweis zu Monopolen, Instantonen usw.; Das ist interessant.
@Qmechanic Ich bin kürzlich in diesem Zusammenhang in D. Freedman / A. Van Proeyens (ziemlich neuem und ziemlich gutem, wie ich sagen muss) Supergravitationstext auf den Begriff "normalisierbar" gestoßen. (Seite 69, mittlerer Absatz).
@joshphysics: Gefunden .
Ich bin mir nicht sicher, ob es das ist, wonach du suchst, aber bzgl. Ihre Bearbeitung, hier ist eine Referenz , in der Yang über das Bündelbild von U (1) -Monopolen spricht. Gleichung 6 gibt das Eichpotential an, das nur im Übergangsbereich definiert ist (daher versagt globale Glattheit/Wohldefiniertheit), da EIN μ ist eine Verbindung auf einem nicht trivialen Bündel.
@ Twistor59 Danke. Das werde ich mir auf jeden Fall anschauen.
Die Frage (v3) ist im Grunde: Schneidet eine Eichbahn höchstens einmal die Coulomb-Eichbedingung?

Antworten (3)

Eine schnelle Antwort, wenn ich darf.

Du brauchst θ um glatt zu sein, da Sie es ableiten möchten. Die Mathematik zwingt Sie also zur Wahl θ glatt.

Jetzt der Trick: Wählen θ reibungslos zu sein bedeutet, dass Sie immer durchsetzen können EIN um glatt zu sein, und verwenden Sie mehrere Patches, die durch eine Gauge-Transformation miteinander in Beziehung stehen. Dann sollten Sie immer über das glatte Vektorpotential sprechen ... oder? Nun, das sollten Sie, wenn Sie richtig rechnen wollen. Aber Physiker kümmern sich normalerweise nicht darum und wählen ein singuläres Vektorpotential, um zu beweisen, dass die Feldkonfiguration einen Monopol beherbergt. Das Prototypbeispiel ist der Wirbel, der mit der U(1)-Lie-Gruppe/Algebra verbunden ist. Siehe zum Beispiel den Artikel von Dirac:

Dirac, PAM Quantisierte Singularitäten im elektromagnetischen Feld . Proz. R. Soc. London. Ser. A 133 , 60–72 (1931)

wobei das Vektorpotential am Nord- oder Südpol singulär ist. Beachten Sie, dass die Theorie der Verbindung am Faserbündel zu dieser Zeit noch zu entdecken war! Das richtige mathematische Bild kam spät in die Physik, zumindest soweit ich weiß. Hier eine schöne Lektüre

Wu, TT & Yang, CN Konzept nichtintegrierbarer Phasenfaktoren und globale Formulierung von Eichfeldern. Phys. Rev. D 12 , 3845–3857 (1975)

wobei sie zwei Parametrisierungen des Kreises wählen: eine für den Süd- und eine für den Nordpol, wobei diese beiden Parametrisierungen des Vektorpotentials durch eine Eichtransformation mit der anderen in Beziehung stehen.

Wie wäre es dann mit normalisierbar? Nun, davon habe ich noch nie gehört, und hauptsächlich definiert man alles in kompakten Räumen, wo es kaum Sinn macht, Normen aufzuerlegen.

Das bedeutet, dass die Mehrdeutigkeit der Eichung in der Coulomb-Eichung praktisch beseitigt wird, wenn Sie es mit einem "schönen" EIN (was dein Zweck ist).

Dies bedeutet jedoch nicht, dass Sie sich nur mit der Strahlung (Ausbreitungslösungen) befassen. Quer EIN ist auch für eine gleichförmig bewegte Ladung von Null verschieden.

Sie brauchen im Allgemeinen keine Glätte, Sie brauchen nur eine C 2 Übergangsfunktion, so dass der Laplace-Operator gut definiert ist - ohne das haben Sie kein gut definiertes Quellfeld, was eindeutig dem ganzen Sinn der Einführung von Eichfeldern widerspricht.

In einem klassischen Kontext dient die Normalisierbarkeit dazu, das Coulomb-Eichmaß in der physikalisch realistischen Situation, in der die Ladungen räumlich begrenzt sind, zu einer einzigartigen Eichfixierung zu machen. Es gibt mindestens drei Gründe, die diese besondere Wahl einer vollständigen Messgerätebefestigung rechtfertigen:

  1. Es erfüllt die physikalische Intuition aus der Lokalität, dass, wenn die Quellen lokalisiert sind, die Eichfelder natürlicherweise im räumlichen Unendlichen auf Null abfallen sollten.
  2. Es erlaubt uns oft, Teile zu integrieren und die Oberflächenterme wegzulassen, was ein Trick ist, der in E&M ständig verwendet wird.
  3. Sie liefert bei weitem die einfachste Green'sche Funktion für das Eichfeld, was zu der einfachen Coulomb-ähnlichen Gleichung führt φ ( x ) = ∫ d 3 x ' ρ ( x ' ) | x − x ' | , und ähnlich für das Vektorpotential und den elektrischen Strom.

Ich bin mit der Quantensituation weniger vertraut, aber ich weiß, dass es bei großen Eichtransformationen in der nichtabelschen Eichtheorie, Instantonen usw. alle möglichen Feinheiten gibt. Hier erfordert die Nichteindeutigkeit der Coulomb-Eichung eine sorgfältigere Betrachtung der Grenze Bedingungen.

Coulomb-Gauge-Fixierung und "Normierbarkeit"
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