Was bedeutet die Zerfallskonstante?

In meinem Lehrplan ist die Zerfallskonstante "die Wahrscheinlichkeit des Zerfalls pro Zeiteinheit".

Dies erscheint mir unsinnig, da die Zerfallskonstante größer als eins sein kann, was bedeuten würde, dass ein Teilchen eine Wahrscheinlichkeit hat, in einer Zeitspanne zu zerfallen, die größer als 1 ist.

Kann das jemand erklären?

Antworten (3)

Du übersiehst zwei Dinge. Erstens, dass die Zerfallskonstante die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ist . Dieser Teil ist wichtig. Die tatsächliche Zerfallswahrscheinlichkeit über einen kurzen Zeitraum ist gleich der Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit multipliziert mit der Zeitdauer:

P = λ Δ T

λ kann so groß sein, wie Sie möchten, aber für ein ausreichend kleines Intervall Δ T , wirst du noch haben P < 1 . Da gibt es also keinen Widerspruch.

Das andere, was Sie vermissen, ist das λ ist nur die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit , dass der Kern noch nicht zerfallen ist . Das ist auch wichtig. Sie müssen mit einem nicht zerfallenen Kern beginnen.

Nehmen wir also an, Sie haben einen nicht zerfallenen Kern bei T = 0 .

P 0 ( verfallen ) = 0 P 0 ( unverrottet ) = 1

Nach einiger Zeit Δ T , die Wahrscheinlichkeit, dass es zerfallen ist λ Δ T , wie oben.

P 1 ( verfallen ) = λ Δ T P 1 ( unverrottet ) = 1 − λ Δ T

Betrachten Sie nun das nächste Zeitintervall, von T = Δ T Zu T = 2 Δ T . Wenn der Kern im ersten Zeitintervall nicht zerfallen ist, hat er eine Wahrscheinlichkeit λ Δ T in diesem zweiten Intervall abzuklingen. Aber wenn der Kern im ersten Zeitintervall zerfallen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bis zum Ende des zweiten Zeitintervalls zerfallen ist, 1. Also insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass er zerfallen ist T = 2 Δ T Ist

P 2 ( verfallen ) = P 1 ( unverrottet ) λ Δ T + P 1 ( verfallen ) ( 1 ) = ( 1 − λ Δ T ) λ Δ T + λ Δ T = ( 2 − λ Δ T ) λ Δ T P 2 ( unverrottet ) = P 1 ( unverrottet ) ( 1 − λ Δ T ) = ( 1 − λ Δ T ) 2

Sie können das Muster wahrscheinlich von hier aus sehen:

P 3 ( verfallen ) = P 2 ( unverrottet ) λ Δ T + P 2 ( verfallen ) ( 1 ) = ( 1 − λ Δ T ) 2 λ Δ T + ( 2 − λ Δ T ) λ Δ T = ( 3 − 3 λ Δ T + ( λ Δ T ) 2 ) λ Δ T P 3 ( unverrottet ) = P 2 ( unverrottet ) ( 1 − λ Δ T ) = ( 1 − λ Δ T ) 3

Insbesondere bei T = N Δ T ,

P N ( unverrottet ) = ( 1 − λ Δ T ) N

Nun, in der Grenze wo Δ T ist kurz und N ist groß, wie es sein muss, wenn T = N Δ T ein normalskaliertes Zeitintervall sein wird, können Sie dies als Exponential erkennen:

lim N → ∞ P N ( unverrottet ) = lim N → ∞ ( 1 − λ Δ T ) N = lim N → ∞ ( 1 − λ T N ) N = e − λ T

Die Gleichung für den exponentiellen Zerfall ergibt sich also natürlich aus der Tatsache, dass die Zerfallskonstante die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für einen nicht zerfallenen Kern ist. (Oder natürlich gilt das gleiche Argument für jedes andere System, das einem exponentiellen Zerfall unterliegt, nicht nur für Kerne.)

Warum ist es das l ich M N → ∞ ( 1 + X N ) N = e X hält immer noch, auch wenn X ist eine Funktion von N ? ( T = T ( N ) in unserem Fall).
@floccinaucinihilipilificator Tut es nicht. Aber in diesem Fall T ist nicht das Ding, an das Sie als Funktion davon denken sollten N . Es ist Δ T was eine Funktion von ist N , speziell Δ T ( N ) = T / N , Wo T ist eine Konstante.

Die Zerfallskonstante ist keine Wahrscheinlichkeit.

Wie hier geschrieben , ist es eine Proportionalitätskonstante zwischen der Größe der Population radioaktiver Atome und der Rate, mit der die Population aufgrund des Zerfalls abnimmt:

− D N D T = λ N ,
Wo λ ist Zerfallskonstante und N ist Bevölkerung.

Wenn wir die Lösung der obigen Gleichung betrachten, können wir sagen: N = N 0 exp ⁡ ( − λ T ) , also hier können wir das sehen λ ist das Gegenteil der Zeit, die benötigt wird, damit die Bevölkerung um einen Faktor von abnimmt e .

Wenn Sie den Artikel lesen, auf den Ihre Frage nach der Bearbeitung durch @Qmechanic verweist, sehen Sie weitere Beispiele für exponentiellen Zerfall, nicht nur für radioaktiven Zerfall.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kern in kurzer Zeit zerfällt, ergibt sich ungefähr aus der Zerfallskonstante multipliziert mit der Länge der Zeitspanne. Dies ist nur eine Annäherung erster Ordnung des exponentiellen Abfalls. Wenn die Zerfallskonstante größer als eins ist, ist die Zeiteinheit, in der sie angegeben ist, offensichtlich zu groß, als dass die Näherung erster Ordnung auch auf dieser Zeitskala gültig wäre.

Was bedeutet es, wenn eine Dimensionskonstante größer als eins ist (was dimensionslos ist)?
Was bedeutet die Zerfallskonstante?
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