Fermionen, verschiedene Spezies und (Anti-)Kommutationsregeln

Ich denke, die vorhandenen Antworten auf die Frage sind unvollständig und verwirrend, also lassen Sie mich näher darauf eingehen.

Der Hilbert-Raum zweier unabhängiger Fermionen verschiedener Spezies (denken Sie an Elektron und Proton) ist das Tensorprodukt der jeweiligen Räume, und die Feldoperatoren für die beiden Fermionen wirken unabhängig auf die beiden Faktoren im Tensorprodukt ($\psi_1\otimes I_2$Und$I_1\otimes \psi_2$mit$I_{1,2}$die Identitätsoperatoren auf den beiden kleinen Hilbert-Räumen sind). Operatoren wie dieser pendeln per Definition, da es sich um völlig unabhängige Freiheitsgrade handelt.

Dies gilt für absolut beliebige Quantenfelder: Solange sie unabhängige Freiheitsgrade erzeugen/vernichten, pendeln sie. Zwei Fermionen, zwei Bosonen, ein Fermion und ein Boson, was auch immer. Die Antikommutierung tritt nur dann auf, wenn Sie die Beziehungen für ein Fermion mit sich selbst aufschreiben.

Manchmal haben Sie jedoch mehrere "Aromen" von Fermionen, die sich unter der Wirkung einer Gruppe "mischen" (denken Sie an Quarks unter$SU(3)$). In diesem Fall müssen sie antikommutieren, damit die Beziehungen unter der Wirkung der Mischgruppe invariant bleiben. Dies ist ein Zeichen dafür, dass Aromen besser als bloße Komponenten eines größeren fermionischen Feldes mit einem zusätzlichen Index betrachtet werden können, der die Fermionen jetzt nicht nur aufzählt, sondern sie zu einem einzigen Element einer Repräsentation einer Gruppe macht.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die „Spezies“ zweier beliebiger Felder tauschen und die „Geschmacksrichtungen“ eines fermionischen Feldes gegeneinander tauschen (weil sie wirklich nur Komponenten eines größeren Fermions sind).

Ich möchte eine andere Perspektive geben. Bosonen vs. Fermionen werden normalerweise eingeführt, indem die Vielteilchen-Wellenfunktion betrachtet wird

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle$$

in der Positionsbasis, wo$x_1,\ldots,x_N$sind die Positionen von$N$Partikel. Wenn diese$N$Partikel sind unterscheidbar, dann permutieren die$x_j$sollte eine physikalisch äquivalente Wellenfunktion ergeben, die sich von der ursprünglichen um eine Phase unterscheidet. Diese Phasen müssen konsistent definiert sein, dh sie ergeben einen Homomorphismus aus der Permutationsgruppe$S_N \to U(1)$. Es stellt sich heraus, dass es zwei solcher Homomorphismen gibt, einen trivialen und einen, der ist$-1$auf die Anzahl der Swaps. Diese entsprechen bosonischen bzw. fermionischen Teilchen.

Nun betrachten wir einen Hilbert-Raum, der einschließt$N$-Teilchenzustände für alle$N \ge 0$, mit einem Staat$|0\rangle$wir nennen das Vakuum. Wir definieren den Erstellungsoperator$a^\dagger(x)$was ein Teilchen bei erzeugt$x$(alle Partikel sind immer noch nicht unterscheidbar). Dann definieren wir

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle = a^\dagger(x_N)\cdots a^\dagger(x_1)|0\rangle.$$

Wir sehen, dass unsere Permutationswirkung somit äquivalent zur Kommutativität bzw. Antikommutativität der Erzeugungsoperatoren im bosonischen bzw. fermionischen Fall ist.

Diese Permutationssymmetrie erlegt dem Erlaubten echte Einschränkungen auf$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle$, wie das Pauli-Ausschlussprinzip für Fermionen.

Allerdings ist die Permutationssymmetrie bei mehreren Partikeltypen nicht so beeindruckend. Angenommen, wir hätten an Positionen eine andere Spezies von Teilchen$y_1,\ldots,y_M$und eine gemeinsame Wellenfunktion

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_M)\rangle.$$

Diese Wellenfunktion wird durch festgelegt$S_N \times S_M$, bis hin zu Phasen, die bestimmen, ob jede Spezies bosonisch oder fermionisch ist. Es gibt keine Möglichkeit, eine zu tauschen$x$Teilchen mit a$y$Teilchen jedoch.

Wir können ebenso einen anderen Satz von Erzeugungsoperatoren definieren$b^\dagger(y)$die ein schaffen$y$Teilchen an Position$y$. Und wofür

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_M)\rangle = b^\dagger(y_M) \cdots b^\dagger(y_1)a^\dagger(x_N)\cdots a^\dagger(x_1) |0\rangle.$$

Wir sehen, dass die Permutationsdarstellungen von$S_N$Und$S_M$bestimmen die Vertauschungsbeziehungen der beiden Arten von Erzeugungsoperatoren mit sich selbst, aber bestimmen sie die Vertauschungsbeziehungen von ihnen untereinander? Eigentlich im Gegensatz zu mehreren anderen Antworten nicht .

Um zu sehen, warum, wollen wir zwei verschiedene Arten von Fermionen untersuchen. Physikalisch unterscheidbar bedeutet, dass die einzelnen Partikelzahlen, die schematisch sind

$$N = \int dx a^\dagger(x) a(x) \qquad M = \int dx b^\dagger(x) b(x)$$

sind beide konserviert. Dies ist der Schlüssel zur Argumentation. Beachten Sie, dass dies hemitianisch ist.

Angenommen, wir führen jetzt die übliche Quantisierung durch, wo$a$Und$b$Anti-Pendeln. Lassen Sie uns definieren

$$b' = (-1)^N b.$$

Wir beobachten, dass die$b'$anti-pendeln miteinander, sondern pendeln mit dem$a$'s . Darüber hinaus können wir die Vielteilchenzustände mithilfe von definieren$b'$'s und sie unterscheiden sich nur von dem, was wir oben hatten, durch ein Zeichen. Schließlich die zeitliche Entwicklung der$b'$entspricht der zeitlichen Entwicklung von$b$Weil$N$wird konserviert.

Der Grund, warum einige andere Antworten es falsch gemacht haben, über ausgefallene Dinge nachzudenken, wie z$\mathbb{Z}_2$-abgestufte Algebren und Super-Poisson-Klammern ist, dass es bei mehreren Arten mehrere Abstufungen gibt: in diesem Fall a$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$Einstufung.

Aus geometrischer Sicht, die für die Bosonisierung relevant ist, würden wir sagen, dass neutrale Fermionen alle an die gleiche Spinstruktur koppeln. Wenn es jedoch globale Symmetrien gibt, können wir für diese globalen Symmetrien Ladungsoperatoren an unsere Fermionen anhängen (wie wir es oben getan haben), wodurch effektiv mehrere Spinstrukturen erzeugt werden, die von verschiedenen Fermionarten gesehen werden.

Weitere Informationen finden Sie in diesem Dokument: https://arxiv.org/abs/1312.0831

Fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfüllen immer Kommutierungsbeziehungen mit bosonischen (oder allgemeiner geraden) Operatoren und Antikommutierungsbeziehungen mit den fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (oder allgemeiner ungeraden Operatoren). Dies folgt aus den Eigenschaften von Super-Poisson-Klammern. Siehe Poisson-Superalgebra

Insbesondere die Erzeugungsoperatoren für unterschiedliche, orthogonale Moden sind immer anticommute.

Fermionen$f_i,\,f_j$mit entsprechenden Impulsen$\pi_i,\,\pi_j$ die zeitgleichen kanonischen Antikommutierungsrelationen erfüllen

$$\left\{\ f_i,\,f_j \right\} = \left\{\ \pi_i,\,\pi_j \right\} = 0,\,\left\{\ f_i\left(t,\,\mathbf{x}\right),\,\pi_j \left(t,\,\mathbf{x'}\right)\right\} = i\hbar \delta_{ij} \delta \left(\mathbf{x},\,\mathbf{x'}\right),$$ wo die zweite $\delta$ist ein Dirac-Delta. Der $i=j$Sonderfall ist eine Verallgemeinerung einer Theorie eines einzelnen Fermons $f$von Schwung $\pi$. Warum tun die $i\neq j$Fälle verwenden Antikommutatoren anstelle von Kommutatoren? Weil wir wollen, dass unsere Regeln unveränderlich sind $f_i \to \sum_j M_{ij} f_j,\,\pi_i \to \sum_j \left(M^{-1}\right)_{ji} \pi_j$für invertierbare Wahlen der Matrix $M$. Es gibt keine konsistente Möglichkeit, dies manchmal durch die Verwendung von Kommutatoren zu erreichen. Eine ähnliche Erklärung gibt es in Bezug auf die Ladder-Operatoren.