Was ist das „QFT-Äquivalent“ der Schrödinger-Gleichung?

Wie beschreibt man die Energie eines bestimmten Systems in der Quantenfeldtheorie?

Eine QFT ist nur eine Art von Quantensystem, sie hat die übliche Schrödinger-Gleichung und die Energie eines Zustands ist der Erwartungswert des Hamilton-Operators.
Bitte versuchen Sie uns eine Vorstellung davon zu geben, was Sie recherchiert haben und was Sie nicht herausfinden/verstehen konnten, wenn Sie eine solche Frage stellen. Dies hilft den Antwortenden zu verstehen, wonach Sie tatsächlich suchen. So gibt es beispielsweise verschiedene Abstraktionsebenen, auf denen man eine Gleichung „die Schrödinger-Gleichung“ nennen kann, und es gibt immer die „zeitunabhängige“ und die „zeitabhängige“ Version. Es ist also unklar, was Sie hier wirklich mit "Schrödinger-Gleichung" meinen.

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Genau die gleiche Schrödinger-Gleichung wie in der Quantenmechanik, nur mit einem anderen Hamilton-Operator.

Der QFT-Hamiltonoperator ist

H ^ = ∫ D 3 X T ^ 00 ,

Wo T ^ μ v ist die Quantisierung des klassischen Spannungs-Energie-Tensors T μ v (genau genommen muss es mathematisch nicht existieren; nur sein Integral über den Raum ist vorhanden). Der genaue Ausdruck für T μ v hängt vom Modell ab, siehe Wikipedia für Details.

Was bedeutet die Quantisierung T ^ μ v aussehen? Und wie sieht der Zustandsraum aus?

Die Schrödinger-Gleichung kann kanonisch quantisiert werden, um das Schrödinger-Feld zu erhalten . Letztere ist eine Quantenfeldtheorie, die die Schrödinger-Gleichung als Operator-Bewegungsgleichung hat. Hier ist eine Übersicht, wie das funktioniert.

Die Schrödinger-Gleichung ist

H ψ ( R , T ) = ich ∂ ∂ T ψ ( R , T ) .

Wo H ist der „erste quantisierte“ Hamiltonoperator (beachten Sie, dass die Leute diese Terminologie nicht mögen ...).

Der entsprechende kanonisch quantisierte Hamiltonoperator ist

H ^ = ∫ D R ψ ^ † ( R , T ) H ψ ^ ( R , T ) ,

Wo ψ ^ ( R , T ) ist jetzt ein Feldoperator mit zeitgleichen Kommutierungsbeziehungen des harmonischen Oszillators an jedem Punkt (siehe z. B. verlinkter Wikipedia-Artikel )

[ ψ ^ ( R , T ) , ψ ^ † ( R ' , T ) ] = δ ( R − R ' ) .

Man kann diese Quantenfeldtheorie auch in Form der Energie-Eigenzustände der Schrödinger-Gleichung schreiben, die dann die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beinhaltet C ^ M ( E , T ) einem Eigenzustand bei Energie zugeordnet E . Dies kann man sich als Diagonalisierung des zweiten quantisierten Hamilton-Operators vorstellen, was ergibt

H ^ = ∑ M ∫ D E E C ^ M † ( E , T ) C ^ M ( E , T ) .

Die Ableitung des letzteren Hamiltonoperators aus dem ersten bleibt dem Leser als Übung überlassen.

Was ist das „QFT-Äquivalent“ der Schrödinger-Gleichung?
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