Warum wird nur die dritte Komponente des schwachen Isospins als Erhaltungsgröße verwendet?

Question

Warum wird nur die dritte Komponente des schwachen Isospins als Erhaltungsgröße verwendet?

jak

Unter Verwendung des Satzes von Noether

\partial_{0} \int D^{3} X (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} Ψ)} δ Ψ) = 0

$\begin{equation} \partial_0 \int d^3x \left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_0\Psi)} \delta \Psi \right) = 0 \end{equation}$

wir erhalten drei Erhaltungsgrößen $Q_i$ von global $SU(2)$ Symmetrie, weil die Lagrange-Funktion unter infinitesimalen Transformationen der Form unveränderlich ist $\delta \Psi = i a_i \sigma_i \Psi$ . Die Erhaltungsgrößen, die aus dem freien Dublett-Lagrange folgen $L= i\bar{\Psi} \gamma_\mu \partial^\mu \Psi$ sind daher

\begin{aligned} Q_{ich} & = ich \bar{Ψ} γ_{0} σ_{ich} Ψ \\ = {(\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix})}^{†} \underset{= 1}{\underset{⏟}{γ_{0} γ_{0}}} σ_{ich} (\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} Q_i&= i\bar{\Psi} \gamma_0 \sigma_i \Psi \notag \\ &= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \underbrace{\gamma_0 \gamma_0}_{{=1}} \sigma_i \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \end{align}$

Warum sind die Erhaltungsgrößen, die aus folgen $i=1$ oder $i=2$ , nie erwähnt oder verwendet? Für $i=1$ wir haben

\begin{aligned} Q_{1} & = {(\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix})}^{†} σ_{1} (\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix}) \\ = {(\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix}) \\ = v_{e}^{†} e + e^{†} v_{e} \end{aligned}

$\begin{align} Q_1&= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \sigma_1 \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= v_e^\dagger e + e^\dagger v_e \end{align}$

oder für $i=3$ wir haben

\begin{aligned} Q_{3} & = {(\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix})}^{†} σ_{3} (\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix}) \\ = {(\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{e} \\ e \end{matrix}) \\ = v_{e}^{†} v_{e} - e^{†} e \end{aligned}

$\begin{align} Q_3&= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \sigma_3 \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix}^\dagger \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0& -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_e \\ e \end{pmatrix} \notag \\ &= v_e^\dagger v_e - e^\dagger e \end{align}$

Dies ist die üblicherweise verwendete dritte Komponente des schwachen Isospins.

frei

Hinweis: Wie viele Generatoren von SU(2) können gleichzeitig diagonalisiert werden? Warum könnte ein diagonaler Generator zu einer nützlicheren Quantenzahl führen als eine nicht diagonale?

jak

S U (2)

$SU(2)$ hat einen Cartan-Generator. Bei deiner zweiten Frage bin ich mir nicht sicher. Meinen Sie, dass Diagonaloperatoren gleichzeitig gemessen werden können und daher nur eine dieser drei Erhaltungsgrößen gleichzeitig "gemessen" werden kann? Oder: Die Objekte in der Dublette, hier

v_{e}

$v_e$ Und

e

$e$ sind nur Eigenzustände für den Diagonalgenerator. Den anderen Generatoren können wir keine eindeutige Nummer zuordnen

v_{e}

$v_e$ Und

e

$e$ , weil sie keine Eigenzustände sind?

Drake Marquis

Das ist eine Konvention. Alle 3 Komponenten können gleichermaßen als Erhaltungsgröße gewählt werden. Leider können sie nicht gleichzeitig gemessen werden. Wenn Sie also einen von ihnen messen und den Eigenwert davon erhalten, werden die anderen nicht festgelegt. Daher ist es üblich, nur eine Komponente zu betrachten.

Antworten (1)

Warum wird nur die dritte Komponente des schwachen Isospins als Erhaltungsgröße verwendet?

Hinweis: Wie viele Generatoren von SU(2) können gleichzeitig diagonalisiert werden? Warum könnte ein diagonaler Generator zu einer nützlicheren Quantenzahl führen als eine nicht diagonale?
$SU(2)$ hat einen Cartan-Generator. Bei deiner zweiten Frage bin ich mir nicht sicher. Meinen Sie, dass Diagonaloperatoren gleichzeitig gemessen werden können und daher nur eine dieser drei Erhaltungsgrößen gleichzeitig "gemessen" werden kann? Oder: Die Objekte in der Dublette, hier $v_e$ Und $e$ sind nur Eigenzustände für den Diagonalgenerator. Den anderen Generatoren können wir keine eindeutige Nummer zuordnen $v_e$ Und $e$ , weil sie keine Eigenzustände sind?
Das ist eine Konvention. Alle 3 Komponenten können gleichermaßen als Erhaltungsgröße gewählt werden. Leider können sie nicht gleichzeitig gemessen werden. Wenn Sie also einen von ihnen messen und den Eigenwert davon erhalten, werden die anderen nicht festgelegt. Daher ist es üblich, nur eine Komponente zu betrachten.

Kosmas Zachos · Answer 1

Die Frage ist falsch formuliert. Der Satz von Noether ist als Symmetrieaussage in Ordnung, aber Ihr Gambit schlägt fehl. Damit die von Ihnen diskutierte Ladung existieren kann, muss sie das Vakuum der Theorie gemäß dem Fabri-Picasso-Theorem vernichten . Andernfalls explodiert es ~ gibt es nicht: das Markenzeichen von SSB. Ich nehme an, Sie haben es vielleicht missverstanden $Q_3$ als Erhaltungsgröße dargestellt, was sie nicht ist: Beachten Sie das toxische Minuszeichen statt dem Plus der gültigen Leptonenzahl! (In der Praxis koppelt / wandelt sich ein sich ausbreitendes linkshändiges Elektron durch den Massenterm mit einem Higgs-Vev in ein rechtshändiges schwaches Isosinglet-Elektron um. Es würde sozusagen "etwas absorbieren $Q_3$ aus dem EW-Vakuum“ – eine zugegebenermaßen barocke Karikatur für eine undefinierte Größe!)

Im Standardmodell bleiben alle Ströme erhalten – sonst würden sie nicht konsistent zu Eichfeldern koppeln; aber der letzte Schritt, mit dem Sie beginnen, dh das Raumintegral der aktuellen Nullkomponente, kann gemäß dem obigen Vorbehalt existieren oder nicht.

Im SM ist natürlich die EM Ladung eine Linearkombination $Q_3+Y$ , wobei Y die schwache Hyperladung ist, die das Vakuum vernichtet (also ungebrochen ist) und somit existiert!

Die unabhängige Möchtegern-Ladung, deren Strom an Z koppelt , $Q_3\cos^2 \theta_W-Y \sin^2\theta_W$ , im Gegensatz dazu nicht, nur wie $Q_1,Q_2$ . Sie sehen sie nicht aufgeschrieben, da nur wenige das Schattenboxen mit Phantomen schätzen.

Bearbeiten : Aber ... könntest du schummeln? Wenn? Ein skrupelloser Geiger könnte durchaus einwenden, dass zumindest Fermis effektiver β-Zerfallsscheitel, $G_F~ \bar{n} \gamma_\mu P_L p ~ \bar{\nu} \gamma ^\mu P_L e$ , oder der aktuelle-aktuelle für den μ-Zerfall usw., bewahren Sie einige auf $Q_3$ als feine Quantenzahl immerhin:

Q_{3} (N_{L}) = Q_{3} (P_{L}) + Q_{3} ({\bar{v}}_{e}) + Q_{3} (e_{L}) = 1 / 2 - 1 / 2 - 1 / 2 = - 1 / 2,

$Q_3(n_L)=Q_3(p_L)+Q_3(\bar{\nu}_e)+Q_3(e_L)= 1/2 -1/2 -1/2=-1/2,$

Q_{3} (μ) = Q_{3} (e) + Q_{3} (ν_{μ}) + Q_{3} ({\bar{ν}}_{e})

$Q_3(\mu)=Q_3(e)+Q_3(\nu_\mu )+Q_3(\bar{\nu}_e)$ , usw. Und das ist kein Zufall. Könnten einige

Q_{3}

$Q_3$ als ungefähres Erhaltungsgesetz irgendwie noch brauchbar sein?

Tatsächlich besitzen der EW-Lagrangian selbst und seine effektiven Avatare die SU(2) _-L -Symmetrie, wie angegeben, und es wird erwartet, dass Scheitelpunkte diese Symmetrie auf einem gewissen Niveau respektieren, sofern keine Higgs-Kopplung beteiligt wäre . Dennoch ist jede Higgs-Wechselwirkung anfällig für SSB-Kontamination, wie z. B. bei der oben dargestellten Fermionenausbreitung, die die Symmetrie stört. Die Antwort lautet dann „mit Sorgfalt“ – Vorsichtsfiddler. Die forensische Exzision von Higgs-Kontaminationseffekten wäre eine riskante Kunst.

Warum wird nur die dritte Komponente des schwachen Isospins als Erhaltungsgröße verwendet?

jak

frei

jak

Drake Marquis

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Kosmas Zachos

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