Argument über den Trugschluss, dass Diff(M)Diff(M){\rm Diff}(M) eine Eichgruppe für die allgemeine Relativitätstheorie ist

Ich werde hauptsächlich über die klassische Physik sprechen, da dies bereits kompliziert genug ist (ich könnte am Ende etwas über Quantensachen erwähnen). Lassen Sie uns also zunächst alle relevanten Begriffe klarstellen, um weitere Verwirrung zu vermeiden. Insbesondere müssen wir genau sagen, was wir mit Invarianz meinen , da bereits zwei unterschiedliche Begriffe in eine Tüte geworfen wurden.

• Eine Symmetriegruppe eines physikalischen Systems ist eine Gruppe von Transformationen, die das System invariant lassen. ZB ist das elektrische Feld einer Punktladung invariant unter Drehungen um diesen Punkt. Mit anderen Worten, wir wollen, dass die Gruppe trivial handelt. Aber das bedeutet, dass dies sofort alle Gleichungen ausschließt, die Tensorindizes tragen (dh Transformationen in eine nicht-triviale Darstellung der Rotationsgruppe). Wenn Sie bei diesen Gleichungen eine Drehung ausführen, ändert sich die Gleichung . Natürlich wird es sich auf leicht beschreibbare Weise ändern und ein anderer Beobachter wird zustimmen. Aber der Unterschied ist entscheidend. ZB in der klassischen Quantenmechanik verlangen wir, dass die Gleichungen immer skalar sind(was sich in der Tatsache widerspiegelt, dass Hamiltonian trivial unter der Symmetriegruppe transformiert).

• Das Ausführen einer Gruppenaktion ist ein weiter gefasster Begriff, der tensorielle Gleichungen umfasst, die wir im vorherigen Aufzählungspunkt ausgelassen haben. Wir verlangen nur, dass auf Gleichungen oder Zustände von einer Gruppe eingewirkt wird. Beachten Sie, dass die Gruppenwirkung keine Beziehung zur Symmetrie haben muss. Nehmen Sie zB die Punktladung und übersetzen Sie sie. Dies wird sicherlich ein anderes System ergeben (zumindest wenn es einen Hintergrund gibt, damit wir tatsächlich Punkte unterscheiden können).

• Eine Eichgruppe eines Systems ist eine Menge von Transformationen, die die Zustände invariant lassen. Das bedeutet, dass die tatsächlichen Zustände des Systems Äquivalenzklassen von Umlaufbahnen der Eichgruppe sind. Betrachten Sie explizit die Gleichung${{\rm d} \over {\rm d} x} f(x) = 0$. Dies hat eine Lösung$g(x) \equiv C$für alle$C$. Aber wenn wir annehmen, dass die Eichgruppe der Gleichung aus den Transformationen besteht$f(x) \mapsto f(x) + a$dann identifizieren wir alle konstanten Lösungen und haben eine einzige Äquivalenzklasse von ihnen – das wird der physikalische Zustand sein. Dies ist, was Eichgruppen im Allgemeinen tun: Sie ermöglichen es uns, Äquivalenzklassen in Bezug auf ihre Bestandteile zu behandeln. Offensichtlich sind Gauge-Gruppen völlig redundant. Der Grund, warum Menschen überhaupt mit Eichgruppen arbeiten, liegt darin, dass sich die Beschreibung des Systems nach Einführung dieser zusätzlichen Parameter, die in die Äquivalenzklasse "sehen", vereinfachen kann. Natürlich ging der historische Prozess rückwärts: Da die eichtheoretische Formulierung einfacher ist, haben die Menschen dies zuerst entdeckt und erst danach die Anwesenheit der Eichgruppen bemerkt.

Nun, nachdem dies gesagt ist, schauen wir uns den Elektromagnetismus an (zunächst im flachen Raum). Unter welchen Symmetrien sind die Maxwell-Gleichungen invariant? Man möchte unter der Lorentz-Gruppe aber sagen, dass dies eigentlich nicht der Fall ist. Schauen wir uns das genauer an. Wie bereits erwähnt, die Gleichung

Wir haben auch${\rm d} F = 0$und daher (in einer kontrahierbaren Raumzeit) auch$F = {\rm d} A$was offensichtlich invariant bzgl$A \mapsto A + {\rm d} \chi$. Im Sinne der obigen Diskussion die Äquivalenzklasse$A + {\rm d} \Omega^0({\mathbb R}^{1,3})$ist der physikalische Zustand und die Eichtransformation lässt uns zwischen seinen Bestandteilen unterscheiden

Gehen wir jetzt zu einer gekrümmten Raumzeit über. Dann haben wir

Genauso ist GR nicht invariant unter${\rm Diff}(M)$aber nur unter einer bestimmten Aktion transformiert (allerdings anders als EM, da GR-Gleichungen zwei Indizes tragen). Auch,${\rm Diff}(M)$kann unmöglich eine Eichgruppe eines dieser Systeme sein, da dies implizieren würde, dass fast alle möglichen Feldkonfigurationen auf eine einzige Äquivalenzklasse eingeengt werden, die möglicherweise durch eine topologische Invariante indiziert wird, die nicht durch einen Diffeomorphismus geändert werden kann. Mit anderen Worten, Theorie mit${\rm Diff}(M)$da eine Eichgruppe rein topologisch ohne lokale Freiheitsgrade sein müsste.

Korrigiere mich, wenn ich falsch liege. Gauge-Transformationen werden verwendet, wenn Sie ein Bündel über einer Mannigfaltigkeit haben. GR hat noch kein nicht-triviales Bündel über einer Mannigfaltigkeit, ist also noch keine Eichtheorie. Wenn es in Zukunft jemand ändert, kann er Eichtransformationen der erweiterten Theorie liefern