Welche globale Symmetrie des Minkowski-Raums (falls vorhanden) wird an der Diffeomorphismus-Invarianz der Allgemeinen Relativitätstheorie gemessen?

Der Minkowski-Raum hat sowohl Translations- als auch Lorentz-Symmetrie, die zusammen Poincare-Symmetrie ergeben. (Es hat auch einige diskrete Symmetrien wie Parität und Zeitumkehr, mit denen ich mich nicht befassen werde.) In gewissem Sinne scheint es natürlich, die Diffeomorphismus-Invarianz/allgemeine Kovarianz der Allgemeinen Relativitätstheorie als die "geeichte" Version von einigen zu betrachten dieser Symmetrien. Aber welche?

1) Das Äquivalenzprinzip wird oft so formuliert: „Die Raumzeit sieht lokal immer wie der Minkowski-Raum aus“ oder „der Wert eines Skalars, der von Lorentz-kovarianten Tensoren am selben Punkt in der Raumzeit kontrahiert wird, ist koordinateninvariant“ oder etwas in dieser Richtung. Es scheint mir, dass Sie, wenn Sie nur einen unendlich kleinen Bereich der Raumzeit betrachten, nicht wirklich über Translationsinvarianz sprechen können (was Sie außerhalb des Bereichs bewegen würde), also sollte an die Symmetriegruppe dieser winzigen Region der Raumzeit gedacht werden als die Lorentz-Gruppe und nicht als die Poincare-Gruppe. Wenn nun an jedem Punkt der Raumzeit lokal die Lorentz-Symmetrie gilt, dann kann man sagen, dass wir die Lorentz -Gruppe „eingeschätzt“ haben.

2) Andererseits ist der "erhaltene Strom" in GR die lokale Erhaltung des Spannungs-Energie-Tensors ∇ μ T μ v = 0 .

(Ich weiß, dass dies eine Flut von Kommentaren darüber auslösen wird, ob GR eine Eichtheorie ist, und Noethers erster vs. zweiter Satz und Erhaltungssätze, die mathematische Identitäten sind, vs. solche, die nur unter den Bewegungsgleichungen gelten, und so weiter. Diese Frage wurden auf dieser Seite bereits alle zu Tode geprügelt, und ich möchte die Büchse der Pandora nicht öffnen. Sagen wir einfach, dass es eine formale Ähnlichkeit zwischen gibt J μ in E&M und T μ v in GR, indem ihre Erhaltung unter den Bewegungsgleichungen trivial wahr ist ∂ v F μ v = J μ und G μ v ∝ T μ v und belasse es dabei.)

Dies ist jedoch nur die Diffeomorphismus-kovariante Version des Ergebnisses ∂ μ T μ v = 0 in der Minkowski-Raum-Feldtheorie, die der Noether-Strom ist, der der Translationssymmetrie entspricht (im Gegensatz zum verallgemeinerten Drehimpuls, der der Lorentz-Symmetrie entspricht). Dies scheint zu implizieren, dass die natürliche Interpretation der Diffeomorphismus-Invarianz die gemessene Version der Translationssymmetrie ist .

Ist es natürlicher, sich die Diffeomorphismus-Invarianz (oder die allgemeine Kovarianz von GR, die je nach Ihren Definitionen dasselbe sein kann oder nicht) als die gemessene Version von (a) Lorentz-Symmetrie oder (b) Translationssymmetrie vorzustellen? Oder (c) beides (dh Poincare-Symmetrie)? Oder (d) weder noch, und das sind nur vage Analogien, die nicht streng gemacht werden können? Wenn (a) oder (b), warum wird dann nur eine richtige Untergruppe der Poincare-Gruppe gemessen? Und wenn (c), warum scheint dann nur der Translationsteil der Eichgruppe einem konservierten Strom zu entsprechen?

(Übrigens suche ich nach einer konzeptionellen Antwort auf hohem Niveau, eher nach einer mit viel mathematischem Fachjargon.)

Antworten (3)

Erstens ist die Allgemeine Relativitätstheorie keine Eichtheorie im engeren Sinne (ein Eichfeld zu haben), wenn man den Formalismus zweiter Ordnung betrachtet, in dem nur die Metrik dynamisch ist. Die Einstein-Hilbert-Aktion ist als eine Aktion konzipiert, bei der das einzige dynamische Feld ist g hat immer noch raumzeitabhängige Symmetrien ( G L ( n ) -wertige Transformationen, die auf allen Feldern wie die Jacobi-Transformationen der Diffeomorphismen wirken), hat also Eichsymmetrien und folglich Eichfreiheit (z. B. die unten im Spinverbindungsformalismus verwendete, um die Metrik an jedem Punkt zu "diagonalisieren"), hat sie aber nicht ein dynamisches Eichfeld. Es gibt jedoch (mindestens) zwei Möglichkeiten, die Theorie der Einstein-Hilbert-Wirkung in Bezug auf ein Eichfeld zu formulieren:

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Eichtheorie mit entweder der allgemeinen linearen Gruppe G L ( n ) oder die Lorentz-Gruppe S Ö ( n − 1 , 1 ) die Rolle der Eichgruppe spielen, abhängig von Ihrer Formulierung, wenn Sie bereit sind, die normalerweise strenge Anforderung zu lockern, dass nur eichinvariante Größen physikalisch sinnvoll sind - während Lorentz-invariante Größen in generischen Berechnungen nützlicher sind als beispielsweise Vektoren, Niemand behauptet, dass Sie einen Vektor in einem bestimmten Frame nicht messen können. Außerdem ist GR keine "freie" Eichtheorie (im Sinne von Yang-Mills oder Chern-Simons), die an etwas gekoppelt ist, das Eichfeld ist niemals die einzige dynamische Variable, sondern immer entweder an die Metrik oder das Vielbein gekoppelt Es gibt noch einen anderen Sinn, in dem es nicht mit unserer üblichen Vorstellung von der Eichtheorie übereinstimmt.

Die beiden Formulierungen lauten wie folgt:

  1. Klassischer (Palatini-) Formalismus: In der Formulierung erster Ordnung ( Palatini-Formalismus , also auch diese Frage ) von GR sind die dynamischen Felder die Metrik und die Christoffel-Symbole. Wenn man das Transformationsverhalten der Christoffels untersucht (wie ich es in dieser Antwort tue ), ist leicht zu erkennen, dass sie sich genau wie a transformieren G L ( n ) -Messfeld. Es ist ziemlich wichtig zu beachten, dass Diffeomorphismus-Invarianz nicht dasselbe ist wie gemessen G L ( n ) -Invarianz - Ersteres ist ein grundlegender Aspekt aller "koordinateninvarianten Physik", während Letzteres im Wesentlichen dadurch entsteht, dass der Ricci-Skalar in der Einstein-Hilbert-Wirkung analog zur Eichinvariante ist T r ( F ) Begriffe in gewöhnlichen Eichtheorien. Ja, das wird oft anders behauptet, und ja, ich bin mir sicher, dass Diffeomorphismen keine gemessenen Versionen von irgendetwas sind. Diffeomorphismen induzieren jedoch G L ( n ) Transformationen durch ihre Jacobianer messen, siehe noch einmal die Antwort zum Transformationsverhalten der Christoffels, die ich oben verlinkt habe.

  2. Spinverbindungsformalismus: Anstatt das Tangentenbündel als a G L ( n ) -Frame-Bundle, eine Vielzahl von Signaturen p , q hat natürlich eine Reduzierung des Rahmenbündels auf a S Ö ( p , q ) Rahmenbündel, das Sie sich einfach als das Bündel aller orthonormalen Basen relativ zur angegebenen Signaturmetrik vorstellen können p , q , während die G L ( n ) Bundle ist das Bundle aller Basen. Der Physiker kennt diese Reduktion als Tetrade oder Vielbein-Formalismus , und sie erlaubt uns, die zu reduzieren g l ( n ) -bewertetes Spurfeld Γ das ist der Christoffels zu einem s Ö ( p , q ) -bewertetes Eichfeld, das die Spinverbindung ist ω im Wesentlichen durch eine glatte Wahl der orthonormalen (nicht koordinierten) Basis in der gesamten Raumzeit, die ich in dieser Antwort etwas ausführlicher erkläre . Die dynamischen Felder im Spinverbindungsformalismus sind die Spinverbindung und das Vielbein.

Als ergänzenden Beweis dafür, dass der Slogan „Diffeomorphismus-Invarianz ist eine Eich-Invarianz“ falsch ist, fordere ich Sie auf zu bedenken, dass die gewöhnliche Yang-Mills-Theorie auch perfekt „Diffeomorphismus-invariant“ ist: Die Yang-Mills-Aktion

∫ M t r ( F ∧ ⋆ F )
hat auch keinerlei Abhängigkeit von Koordinaten, ist nicht mehr oder weniger "diffeomorphismusinvariant" als die Einstein-Hilbert-Wirkung. Die Bedeutung der "Diffeomorphismus-Invarianz" in GR liegt wirklich viel mehr darin, dass, wie ich oben sagte, die Jacobi-Diffeomorphismen die natürliche Quelle für die Eichtransformationen der Christoffels sind und dass die Theorie auch separat invariant wäre direkt unter der G L ( n ) Transformationen ohne Berücksichtigung eines zugrunde liegenden Diffeomorphismus.

Wie erklärt sich dann die formale Ähnlichkeit zwischen der Erhaltung von T μ v in GR und in translationsinvarianten Theorien zur flachen Raumzeit?
@tparker Ich denke nicht, dass es sich um eine "formale Ähnlichkeit" handelt, sondern dass letzteres einfach ein Sonderfall des ersteren ist: In einer flachen Raumzeit haben wir einfach ∇ μ = ∂ μ (in einigen Koordinaten).
Ich bezweifle, dass es sich um einen Sonderfall handelt. In GR, die Erhaltung von T μ v folgt aus den Einstein-Gleichungen. Im Falle einer flachen Raumzeit reduzieren sich Einsteins Gleichungen auf die völlig triviale Theorie T μ v ≡ 0 . Andererseits ist die Konservierung von T μ v gilt (auf der Schale) für jede flache Raumzeittheorie, deren Wirkung translationsinvariant ist. Die Hypothesen beider Ergebnisse sind nicht in den anderen enthalten.
@tparker Oh, dann habe ich falsch verstanden, was du meinst. In diesem Fall bin ich mir jedoch nicht sicher, was Ihrer Meinung nach zu erklären ist oder warum Sie der Meinung sind, dass die Eichtheorie etwas damit zu tun hat - die Erhaltungssätze des Elektromagnetismus enthalten keine kovarianten Ableitungen der Eichzahl und tun dies auch nicht die tautologischen (und eichvarianten) Analoga in Yang-Mills-Theorien, warum also sollten Sie das Auftreten der kovarianten Ableitung in diesem Gesetz in GR mit dem eichartigen Aspekt verbinden?
Wenn Sie eine globale Symmetrie messen, koppelt das Eichfeld normalerweise an einen konservierten Strom, dessen Ausdruck durch den Ausdruck für den Noether-Strom gegeben ist, der der ursprünglichen globalen Symmetrie entspricht, wobei jedoch alle partiellen Ableitungen zu kovarianten Ableitungen befördert werden. Das GR Erhaltungsgesetz ∇ μ T μ v ist der Ausdruck für die Erhaltung des Noether-Stroms, der der globalen Translationsinvarianz entspricht, wobei partielle Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden, so dass es durch Analogie naheliegt, anzunehmen, dass die Theorie eine gewisse Symmetrie haben könnte ...
... gedacht als "geeichte" Version der Translationsinvarianz. Meine Frage ist, ob dies der Fall ist, warum es nicht auch einen konservierten Strom analog zum Drehimpuls gibt, der aus der "Messung" der Lorentz-Symmetrie resultieren würde.
@tparker Aber GR ist nicht die Version einer "nicht geeichten Theorie", in der Sie gewöhnliche Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt haben. Schauen Sie sich die EH-Aktion an - im tetradischen Formalismus ist die Lagrange-Funktion ähnlich − det ( g ) ( e ) e ich μ e j v R μ v ich j , wo die Riemann-Krümmung R ist die Krümmung des "Eichfeldes", die von den Christoffels angegeben wird. Dies entspricht offensichtlich nicht der Form frei + Kopplung mit Erhaltungsstrom , und es enthält keine kovarianten Ableitungen außer denen in R selbst (" R = ∇ Γ "), also schlägt Ihre Analogie einfach fehl.
Zur Klarstellung, das war genau meine Frage. ∇ μ T μ v sieht aus wie der konservierte Strom für eine Theorie, in der die Translationssymmetrie gemessen wurde, aber wie Sie sagen, gibt es keine offensichtliche "vorab gemessene" Theorie. Ich habe gefragt, ob es eine nicht offensichtliche, vorab eingeschätzte Theorie gibt oder ob die formale Ähnlichkeit nur ein Zufall ist. Es hört sich so an, als würden Sie auf der Seite des Zufalls landen, aber korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.
@tparker Ja, aber was ich auch sage, ist das ∇ μ T μ v = 0 sieht nicht wirklich aus wie die geeichte Version von irgendetwas . Elektromagnetismus / Yang Mills hat einen erhaltenen Strom ∂ μ J μ a = 0 . Auf keinen Fall mutiert diese plötzlich zu D μ J μ = 0 für die kovariante Ableitung D μ = ∂ μ + EIN μ durch irgendein Messverfahren.
Ich stimme dir nicht zu. In der abelschen Eichtheorie (ohne Anomalien) ergibt der Satz von Noether ∂ μ J μ = 0 , aber in der nichtabelschen Eichtheorie wird der Strom selbst unter die Eichgruppe geladen, so dass der Satz von Noether ergibt D μ J μ = 0 ; siehe den Satz in Srednicki, der Gl. (77,35).
@tparker Ich sehe überhaupt keinen Grund, warum Noethers Theorem eine kovariante Ableitung ergeben würde, die auf den konservierten Strom wirkt, da die konservierten Ströme aus Noethers erstem Theorem folgen, das auf die globale Version der Symmetrie angewendet wird, und nichts mit der Eichtheorie zu tun haben (Noethers zweiter Theorem denn Eichsymmetrien ergeben off-shell-Identitäten, die nichts mit der Erhaltung zu tun haben), und der Satz in Srednicki verwirrt mich. Haben Sie eine Referenz, die das Aussehen dieser kovarianten Ableitung ableitet (anstatt nur zu behaupten, wie es Srednicki tut)?
In der Literatur findet man Hinweise auf die Poincaré-Gruppe (T x O) oder sogar die Affine-Gruppe (T x GL). Sie verwenden jedoch nicht die Gruppe vom affinen Typ, sondern nur den SO- oder den GL-Teil. Tatsächlich nehmen Sie sogar SO anstelle von O. Können Sie erklären, warum Sie den T-Teil nicht brauchen, um die allgemeine Relativitätstheorie zu erhalten, und warum die Literatur sie enthält? Verpassen Sie wichtige körperliche Verhaltensweisen, weil Sie die Übersetzungen nicht in Ihrer Eichgruppe haben, oder spielen sie irgendwie keine Rolle?
@Anon21: Der Übersetzungsteil ist im Standard-GR irrelevant - die entsprechende Feldstärke ist die Torsion (siehe zB das Ende von Kapitel 2 hier ), die für die Standard-EH-Aktion Null ist (die Levi-Civita-Verbindung ist torsionsfrei). Es spielt eine implizite Rolle im Spin-Connection-Formalismus in Form des Vielbeins - das Vielbein ist das "Eichfeld" für die Übersetzungen.

Als Ergänzung zur Antwort von ACuriousMind möchte ich darauf hinweisen, dass die Diffeomorphismus -Invarianz oder "lokal U ( 1 ) Invarianz" oder ähnliches.

Der wahre Teufel hinter den Kulissen ist die Hintergrundunabhängigkeit , wenn sie richtig interpretiert wird.

Für jedes System, das aus lokalen Feldern auf einer Mannigfaltigkeit besteht, gibt es eine Diffeomorphismus-Invarianz. Die klassische Mechanik ist diffeomorphismusinvariant. Die klassische Elektrodynamik ist diffeomorphismusinvariant. Sie können so ziemlich alles machen, was eine glatte Mannigfaltigkeit als diffeomorphismusinvariante Hintergrundarena verwendet.

Für Theorien, die global lineare Objekte (Impulsvektoren usw.) beinhalten, ist dies schwieriger, da Diffeomorphismen die lineare Struktur eines Vektorraums töten können, aber dann können Sie Dichtefelder anstelle von "ganzzahligen Größen" verwenden, die jetzt lokal sind Felder und das Problem ist teilweise gelöst.

Am Beispiel der skalaren QED (vor der Quantisierung, also wirklich skalare CED, aber mit Materiefeldern) gilt dasselbe für die lokale Eichinvarianz.

Nehmen wir ein komplexes Klein-Gordon-Feld

L = ∂ μ ϕ † ∂ μ ϕ + ϕ † ϕ .
(Ich kümmere mich nicht um Konstanten.)

Sie können scharf beobachten, dass diese Feldtheorie global invariant ist U ( 1 ) Transformationen, aber keine lokalen, also führen wir das übliche Verfahren zur Einführung einer Spurweitenverbindung durch

D μ = ∂ μ + ich EIN μ .

Der Lagrange

L = ( D μ ϕ ) † D μ ϕ + ϕ † ϕ
ist jetzt lokal U ( 1 ) -invariant.

Hast du jetzt Elektrodynamik? Nö. Anstatt beispielsweise eine Lagrange-Funktion für anzugeben EIN μ , das kannst du verkünden

  • es existiert ein interner Bezugsrahmen (z. B. ein Messgerät), in dem EIN μ = 0 .

Jetzt haben Sie eine Familie von internen Referenzrahmen, in denen D μ = ∂ μ , und Mitglieder dieser Familie sind durch Eichtransformationen verwandt e ich χ , wo χ ist eine Konstante, da wir das wissen EIN verwandelt sich als EIN ' = EIN + d χ .

Aber solange wir wissen, dass es einen solchen internen Referenzrahmen gibt, müssen wir uns absolut nicht an diesen Rahmen halten. Wir können stattdessen eine Eichtransformation von einem solchen Frame aus durchführen e ich χ ( x ) , dann im neuen Rahmen, EIN ' = d χ , und wir müssen die kovariante Ableitung verwenden D μ = ∂ μ + ich ∂ μ χ vernünftige Ergebnisse zu bekommen.

Allerdings berechnen wir dann die Krümmungsform und erhalten

F = d EIN = d d χ = 0 ,
was zeigt, dass wir überhaupt kein elektromagnetisches Feld haben! Doch unsere Theorie ist immer noch lokal U ( 1 ) -invariant.

Der eigentliche Unterschied entsteht, wenn statt angegeben wird EIN um entweder null oder rein zu sein, machen wir EIN dynamisch und lege ihm Feldgleichungen auf!

Dann können wir sagen, dass unsere Theorie des Elektromagnetismus hintergrundunabhängig ist, denn obwohl es ein Prinzip gibt U ( 1 ) -Bündel über Raumzeit mit Ehresmann-Verbindung EIN , ist die Geometrie dieses Hauptbündels nicht a priori definiert, weil unsere Verbindung nicht fest, sondern dynamisch ist. Die Theorie ist also hintergrundunabhängig.

Dasselbe gilt für GR, unabhängig davon, ob Diffeomorphismus-Invarianz oder nicht absolut parallele Bewegungsrahmen berücksichtigt werden. Was uns die Schwerkraft gibt, ist nicht die Diffeomorphismus-Invarianz oder die lokale Lorentz-Invarianz, wir können Diffeomorphismen der Minkowski-Raumzeit machen oder sich bewegende orthonormale Rahmen auf der Minkowski-Raumzeit nehmen, und dann ist die Minkowski-Raumzeit immer noch flach und ohne Schwerkraft. Was uns Gravitation gibt, ist die Spezifizierung dieser Hintergrundgeometrie als unbekannt und die Bereitstellung von Feldgleichungen, die ihre Dynamik regeln.

Während ich denke, dass diese Antwort „moralisch“ richtig ist, ist die mentale Gymnastik erforderlich, um zu behaupten, dass „ D μ ϕ † D μ ϕ + ϕ † ϕ ist eichinvariant" und haben EIN nicht dynamisch sein, sind formal einfach falsch: Eine Feldtransformation - etwa eine Eichtransformation - wirkt definitionsgemäß auf die Koordinaten und die dynamischen Variablen. Wenn du das sagst EIN μ unter einer Eichtransformation transformiert, dann entweder EIN μ dynamisch ist oder Sie eine nicht standardmäßige Vorstellung davon verwenden, was eine Transformation/Symmetrie ist.
@ACuriousMind Wenn EIN μ ein nicht-dynamisches Hintergrundfeld ist, dann können wir es uns einfach als eine bestimmte Funktion der Koordinaten vorstellen. Dann gibt es keine Eichtransformation, die transformiert EIN einfach eine Koordinatentransformation? Andererseits nehme ich an, dass die Angabe, wie sich eine Funktion der Koordinaten transformiert, immer noch einige Unklarheiten darüber lässt, wie sich die Koordinaten selbst transformieren.
@ACuriousMind Warum sollte es falsch sein? EIN ist ein lokaler Ausdruck für einen Abschnitt eines affinen Bündels M , und die "Pegeltransformation" ist nichts anderes als die Auswirkung des Bezugsrahmenwechsels auf den lokalen Repräsentanten. EIN ist per Definition dynamisch, wenn sie durch eine Differentialgleichung bestimmt ist. Die beiden Konzepte sind völlig unabhängig voneinander.
@ACuriousMind Of und übrigens, die Gauge-Transformation wirkt in meinem Beispiel auf eine dynamische Variable, nämlich ϕ . Der Punkt ist, U ( 1 ) kann lokal agieren, auch wenn wir die Verbindung fest und flach halten, im abstrakten Sinne also lokal U ( 1 ) Invarianz impliziert dies nicht sofort EIN ist dynamisch. Es erlaubt EIN sein.
Was ich sagen will, ist, dass, wenn Physiker von einer "Transformation" einer Aktion oder ihrer Invarianz unter einer solchen Transformation sprechen, diese Transformation nur auf die dynamischen Variablen wirkt . Wenn Sie beispielsweise die formalen Aussagen des Satzes von Noether untersuchen, werden Sie feststellen, dass er lediglich Variationen der Koordinaten und der dynamischen Felder berücksichtigt (wenn Sie etwas variieren, das nicht dynamisch ist, hat der entsprechende Lagrange-Ausdruck keinen Grund zu verschwinden, und Noethers ( erstens) Theorem hat keinen Grund zu gelten). Haben EIN transformieren, aber nicht dynamisch sein, ist mit dieser Verwendung nicht vereinbar.
@ACuriousMind Dies ist eine schrecklich starre Interpretation der Dinge. Fast wie zu sagen, dass Sie keine lokalen Lorentz-Transformationen durchführen können, wenn Ihr Vierbein (z. B. metrischer Tensor) nichtdynamisch ist. Was ich als Eichtransformation betrachte, ist entweder eine Rechtswirkung einer Lie-Gruppe auf ein Hauptbündel oder eine Linkswirkung derselben Gruppe auf die Modellfaser von zugehörigen Bündeln. Beide benötigen kein dynamisches System, um sinnvoll zu sein.

Für das Archiv: siehe

https://www.physicsforums.com/insights/general-relativity-gauge-theory/

Kurz gesagt, beim Messen der Poincare-Algebra gehen Sie davon aus, dass die Eichfelder e und omega Vektoren unter gct sind. Die herkömmliche Einschränkung, bei der die Feldstärke von Übersetzungen auf Null gesetzt wird, ermöglicht es, die lokalen Übersetzungen zu entfernen. Diese lokalen Übersetzungen sind nach dieser Einschränkung lediglich eine lineare Kombination lokaler LTs und gcts mit feldabhängigen Parametern.

Ich denke, Sie könnten auch der Philosophie folgen, der die GCTs aus den lokalen Übersetzungen folgen, nachdem Sie die konventionelle Beschränkung auferlegt haben.

Welche globale Symmetrie des Minkowski-Raums (falls vorhanden) wird an der Diffeomorphismus-Invarianz der Allgemeinen Relativitätstheorie gemessen?
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