Beschleunigung ohne Kraft in der speziellen Relativitätstheorie

Question

Beschleunigung ohne Kraft in der speziellen Relativitätstheorie

Don Al

Betrachten wir ein relativistisches Massenteilchen $m$ und aufladen $q$ in einem konstanten elektrischen Feld $\mathbf{E}=E\mathbf{\hat{j}}$ Bewegung in zwei räumlichen Dimensionen, eine relativistische Erweiterung des bekannten Problems der Projektilbewegung. Um die Berechnungen zu vereinfachen, werde ich den Hamilton-Operator verwenden, um die Bewegungsgleichungen zu finden. Es ist $H=\sqrt{m^2c^4+(p_x^2+p_y^2)c^2}-qEy$ , und die Hamilton-Gleichungen¹ ergeben die folgenden Bewegungsgleichungen für die Orte und Impulse:

{\dot{P}}_{X} = 0, {\dot{P}}_{j} = Q E

$\dot{p}_x=0, \dot{p}_y=qE$

\dot{X} = \frac{P_{X} C^{2}}{\sqrt{M^{2} C^{4} + (P_{X}^{2} + P_{j}^{2}) C^{2}}}, \dot{j} = \frac{P_{j} C^{2}}{\sqrt{M^{2} C^{4} + (P_{X}^{2} + P_{j}^{2}) C^{2}}},

$\dot{x}=\frac{p_xc^2}{\sqrt{m^2 c^4+(p_x^2+p_y^2)c^2}}, \dot{y}=\frac{p_yc^2}{\sqrt{m^2 c^4+(p_x^2+p_y^2)c^2}},$ wobei ein Punkt über einer Variablen eine Ableitung WRT der Koordinatenzeit darstellt

t

$t$ und während in der nicht-relativistischen Mechanik die Trajektorie eine Parabel ist, ist sie in der relativistischen Mechanik eine Hyperbel. Die Formeln für die Komponenten des Impulses als Funktion der Koordinatenzeit in der

x

$x$ Und

y

$y$ Richtungen sind trivialerweise zu finden

p_{x} (t) = p_{x, 0}

$p_x(t)=p_{x,0}$ Und

p_{y} (t) = p_{y, 0} + q E t

$p_y(t)=p_{y,0}+qEt$ . Wir können diese Ergebnisse in den Gleichungen für einsetzen

x

$x$ Und

y

$y$ das zu finden in der

x

$x$ Richtung und Faktorisierung zur Eliminierung

c

$c$ haben wir

\dot{X} = \frac{P_{X, 0} C}{\sqrt{M^{2} C^{2} + P_{X, 0}^{2} + (P_{j, 0} + Q E T)^{2}}},

$\dot{x}=\frac{p_{x,0}c}{\sqrt{m^2 c^2+p_{x,0}^2+(p_{y,0}+qEt)^2}},$ es ist jedoch leicht zu erkennen, dass die

x

$x$ Die Komponente der Geschwindigkeit ist nicht konstant, sie nimmt ab. Es gibt eine Beschleunigung ungleich Null, obwohl keine Kraft auf sie wirkt. Wie ist das möglich? Was ist der physikalische Grund für dieses relativistische Phänomen?

¹: in ihrer Standardform $\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i}$ Und $\dot{x}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

Nickolas Alves

Ich habe die Mathematik nicht überprüft, also poste ich dies nicht als Antwort, aber es könnte sein, dass diese Beschleunigung zu verhindern scheint, dass die Geschwindigkeit des Teilchens die Lichtgeschwindigkeit überschreitet. Wenn das Teilchen beschleunigt, die

y

$y$ Komponente der Geschwindigkeit wird größer und die

x

$x$ Komponente wird kleiner, um sicherzustellen

v_{x}^{2} + v_{y}^{2} < c^{2}

$v_x^2 + v_y^2 < c^2$ .

Antworten (2)

Beschleunigung ohne Kraft in der speziellen Relativitätstheorie

Ich habe die Mathematik nicht überprüft, also poste ich dies nicht als Antwort, aber es könnte sein, dass diese Beschleunigung zu verhindern scheint, dass die Geschwindigkeit des Teilchens die Lichtgeschwindigkeit überschreitet. Wenn das Teilchen beschleunigt, die $y$ Komponente der Geschwindigkeit wird größer und die $x$ Komponente wird kleiner, um sicherzustellen $v_x^2 + v_y^2 < c^2$ .

JG · Answer 1

Das relativistische Äquivalent von Newtons zweitem Gesetz ist

F^{μ} = \frac{D}{D τ} P^{μ} = γ \frac{D}{D T} (\binom{γ M C}{γ β^{ich} M C}) .

$f^\mu=\frac{d}{d\tau}p^\mu=\gamma\frac{d}{dt}\binom{\gamma mc}{\gamma\beta^i mc}.$ Einstellung

f^{i} = 0

$f^i=0$ nur erfordert

γ β^{i} = \frac{β^{i}}{\sqrt{1 - β^{j} β^{j}}}

$\gamma\beta^i=\frac{\beta^i}{\sqrt{1-\beta^j\beta^j}}$ konserviert werden, nicht

β^{i}

$\beta^i$ . In diesem Fall

β^{ich} = \frac{P^{ich} C^{2}}{\sqrt{M^{2} C^{4} + P^{2} C^{2}}} ⟹ \frac{β^{ich}}{\sqrt{1 - β^{J} β^{J}}} = \frac{P^{ich}}{M} .

$\beta^i=\frac{p^ic^2}{\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}}\implies\frac{\beta^i}{\sqrt{1-\beta^j\beta^j}}=\frac{p^i}{m}.$ Seit

p^{x}

$p^x$ ist konserviert, also ist

γ β^{x}

$\gamma\beta^x$ , wie erwartet.

Tal · Answer 2

Wie in der anderen Antwort angegeben, ist Kraft die Änderung des Impulses, nicht Masse mal Beschleunigung. Der physikalische Grund für das Phänomen ist, dass Momentum nicht einfach ist $mv$ in der Relativität. Dies führt in der Relativitätstheorie dazu, dass die Beschleunigung im Allgemeinen nicht parallel zur Kraft verläuft.

Für eine Beschleunigung muss immer noch eine Kraft vorhanden sein, aber die Kraft und die Beschleunigung sind nicht unbedingt kolinear. Eine Kraft in Komponenten zu zerlegen, um Beschleunigungskomponenten zu erhalten, funktioniert also nicht.

Aus diesem Grund wird die Verwendung von Vierervektoren empfohlen.

Beachten Sie jedoch, dass selbst bei der Relativitätstheorie die Erklärung davon abhängt, dass es keinen Raum gibt $1$ -dimensional.

Beschleunigung ohne Kraft in der speziellen Relativitätstheorie

Don Al

Nickolas Alves

Antworten (2)

JG

Tal

JG

Gibt es eine Formel, die die Position eines Objekts in Abhängigkeit von der Zeit angibt, die es dem Objekt aber nicht erlaubt, die Lichtgeschwindigkeit zu überschreiten?

Berechnung einer "scheinbaren" Geschwindigkeit eines Strahls in einem Medium

Relativistischer elastischer Stoß

Warum ist die kinetische Energie ein Fixpunkt der Legendre-Transformation?

Relativistische Kinematik - 2-Körper-Teilchenzerfall

Was ist die intuitive Bedeutung von Q2Q2Q^2?

Wie transformiere ich in einen relativistisch rotierenden Bezugsrahmen?

Kreisbewegungsproblem? [geschlossen]

Mandelstam-Variablengleichheitsableitung für sss-channel-Prozess

Ist die von Blandford und Thorne gegebene Definition von * Trägheitsreferenzrahmen * akzeptabel?