Mandelstam-Variablengleichheitsableitung für sss-channel-Prozess

Ich soll zeigen, dass die Variable Mandelstam

$s=(p_1^2 + p_2^2) = 4(P_{cm}^2 + m^2)$

für eine Elektron/Positron-Wechselwirkung, wo$p_1$ist der einfallende 4-Impuls des Elektrons und$p_2$ist der einfallende 4-Impuls des Positrons,$m$ist die Elektron/Positron-Masse, und$P_{cm}$ist die Größe der 3-Impulse der einfallenden und gestreuten Teilchen im Massenzentrumsrahmen. Die Herleitung, die mein Professor gegeben hat, lautet wie folgt:

$(p_1^2 + p_2^2) = (E_1 + E_2)^2 - (\vec p_1 + \vec p_2)^2$

Im Massenmittelpunkt,$\vec p_1 + \vec p_2 =0$(da jeweils die regulären 3-Impulse der Teilchen sind), also

$=(E_1 + E_2)^2 = (2E)^2$Da die Energie jedes Teilchens im Massenmittelpunkt gleich ist, drücken wir einfach jede Energie als aus$E$.

Aber dann ist der Schritt, den ich nicht verstehe, folgender:

$E^2 = P_{cm}^2 + m^2$

die angeschlossen wird$(2E)^2$um die endgültige Antwort zu erhalten. Ich glaube, die Gleichung in der obigen Zeile stammt aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung, aber ich sehe nicht, wie wir uns von der Energie ändern können$E$im Massenmittelpunkt zu$P_{cm}^2$, die sich im Allgemeinen nicht im Massenmittelpunkt befindet. Ist$E^2$eine Lorentz-Invariante? Wenn ja, kann ich verstehen, wie es in der Ableitung funktioniert.

Edit: wie gesagt,$P_{cm}$ist nicht der Impuls des Massenschwerpunkts, sondern der Impuls im Schwerpunktrahmen. Das bedeutet, dass der obige Absatz irrelevant ist. Somit gilt die Energie-Impuls-Beziehung, weil$P_{cm}$ist der Impuls jedes Teilchens im Massenmittelpunkt, und daher gibt es kein Springen zwischen den Bildern, wie ich zuvor dachte.