Was ist die Verschiebung eines beschleunigten und relativistischen Objekts?

Es ist wichtig zu beachten, dass die Gleichung

ist eine mathematische Gleichung, keine physikalische. Es ist einfach die Gleichung für das Integral einer Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung:

Also, wenn Sie ein bestimmtes Bild auswählen und die Anfangsgeschwindigkeit eines Partikels messen$u$und seine konstante Beschleunigung zu sein$a$, dann wird diese Verschiebungsgleichung Ihr relativistisches Teilchen beschreiben. Aber es gibt ein paar Unterschiede, zu denen die Relativitätstheorie führt. Wenn Sie die Kraft auf ein Teilchen mit Masse verstehen wollen$m$notwendig, um ihm eine konstante Beschleunigung von zu geben$a$, müssen Sie die relativistische Version des Newtonschen Gesetzes verwenden:

Man muss also eine nicht konstante Kraft aufbringen, um eine konstante Beschleunigung zu erreichen. Außerdem ändert sich die beobachtete Verschiebung bei einer Transformation in einen anderen Rahmen basierend auf der relativen Geschwindigkeit des zweiten Rahmens zum ersten. Dies wird durch eine Lorentz-Transformation beschrieben.

Angenommen, ein Teilchen bewegt sich mit einer Geschwindigkeit, die sich nähert$c$wo relativistische Effekte eine Rolle spielen. Dies ändert nichts an der Methode, die Sie verwenden, um seine physikalischen Eigenschaften zu messen; Sie verwenden immer noch dieselben Raumkoordinaten und dieselbe Uhr, die Sie verwenden würden, wenn es sich mit kleinen Geschwindigkeiten bewegen würde, bei denen die Relativitätstheorie keine Rolle spielt. Daher definieren und messen Sie Geschwindigkeit und Beschleunigung auf genau die gleiche Weise, was bedeutet, dass Ihre relativistischen Verschiebungsformeln mit den Newtonschen identisch sind.

Ich denke, Sie fragen hier nach einem Objekt, das eine konstante Eigenbeschleunigung hat , dh ein Objekt, das in seinem momentanen Ruhesystem eine konstante Beschleunigung hat. Wie in früheren Antworten gesagt wurde, ist dies einfach eine Übung zur Anwendung von Lorentz-Transformationen. Wenn wir die Eigenbeschleunigung mit bezeichnen$\alpha$, und betrachten Sie das Objekt, bei dem der Ruhezustand beginnen soll$t=0$, dann sind die Geschwindigkeit und Verschiebung des Körpers, gemessen von einem Beobachter in Ruhe, in Bezug auf die Ausgangsposition des Körpers:

$x(t) = (c^2/\alpha) ( \sqrt{1 + (\alpha t/c)^2} -1 )$, Und

$v(t) = \alpha t / \sqrt{1 + (\alpha t/c)^2 }$.

Beachten Sie, wie$\alpha t$spielt die Rolle von$v$bei der Lorentztransformation. Es ist auch interessant zu sehen, wie$v$asymptotisch nähert$c$in der Grenze langer Zeiten, genau so, wie man es erwarten würde.

Wenn$\alpha t \ll c$, dh der nicht-relativistische Grenzwert, können diese Ausdrücke vereinfacht werden, indem eine Taylor-Entwicklung der Quadratwurzeln durchgeführt wird, um die vertrauten klassischen Ergebnisse wiederherzustellen, die Sie angeben. Dies ähnelt einem Problem, das am Ende von Kapitel 5 von "Special Relativity" von AP French gegeben wird. Übrigens bemerkt French (über die Transformation von Beschleunigungen): "Die Ergebnisse sind etwas kompliziert, und es hat keinen Sinn, sich an sie zu erinnern, es sei denn, die relativistische Kinematik ist Ihr Lebensunterhalt." Ich denke, das ist sehr wahr!