Ich studiere Bloch-Funktionen und es scheint mir sicher anzunehmen, dass sie die allgemeinste Eigenfunktion eines Hamilton-Operators mit der Kristallperiodizität sind. Die einzigen Überlegungen, die bei ihrer Ableitung gemacht wurden, verwendeten nun die Translationssymmetrie des Gitters.
Wenn ich darüber nachdenke, konnte ich keinen Grund finden, warum eine andere Symmetrie (Rotationen, Reflexionen ...) nicht durch die Translation in einem Kristallgitter dargestellt werden sollte. Wenn man sich umschaut, scheint dies eine definierende Eigenschaft von Kristallgittern zu sein, die als kristallographischer Beschränkungssatz bezeichnet wird.
Also hier die Frage(n):
Sind alle Symmetrien in einem Kristallgitter auf die Übergangssymmetrie reduzierbar?
Wenn ja, entspricht dies wirklich dem kristallographischen Beschränkungssatz?
Nur wenn Ihre Einheitszelle nur ein Atom enthält.
Die Translationssymmetrie wird durch die Einheitsgittervektoren definiert, die genau definieren, welche Translationen Ihr Gitter gleich lassen, und die Bloch-Funktionen basieren auf diesen Einheitsgittervektoren.
Die Einheitszelle selbst kann jedoch mehrere verschiedene Atome enthalten, was (meiner ehrlichen Meinung nach verwirrenderweise) als Basis des Gitters bezeichnet wird.
Stellen Sie sich das so vor: Beginnen wir mit einem einfachen quadratischen Gitter in 2D, mit nur einer Atomsorte und einem Atom in der Elementarzelle. Dieses Gitter ist also bei Drehungen um 90 Grad unveränderlich.
Ändern Sie nun den Gittertyp so, dass jedes Atom des ersten Typs einen Nachbarn hat, der eine halbe Einheitslänge rechts liegt.
Translationstechnisch hat sich nichts geändert, aber jetzt kann man das Ding plötzlich nicht mehr um 90 Grad drehen!
Deshalb gibt es nur 14 verschiedene Translationssymmetrien (genannt Bravais-Gitter), aber 230 verschiedene Raumgruppen.
Im Allgemeinen pendelt der Rotationsoperator nicht mit dem Translationsoperator. Dies bedeutet, dass der Rotations- und der Translationsoperator im Allgemeinen keinen Satz von Eigenvektoren teilen. Wenn wir dann postulieren, dass wir einen dieser Operatoren in Bezug auf den anderen umschreiben könnten, finden wir einen Widerspruch, da ein Operator immer mit sich selbst kommutiert. Somit wäre die Antwort auf Ihre Frage nein.