Warum enthalten die Symmetrien eines einfachen kubischen Gitters keine 4-zählige Rotationsachse durch die Gitterpunkte?

Das kubische Gitter wird durch die vier 3-zähligen Rotationsachsen entlang der Hauptdiagonalen des Würfels definiert, nicht durch das Vorhandensein von 4-zähligen. Dies ist der Grund, warum Sie primitive, flächenzentrierte und körperzentrierte kubische Gitter haben (aber kein basiszentriertes kubisches Gitter wie im orthorhombischen System, das die 3-zählige Rotationssymmetrie brechen würde).

es gibt mehrere kubische Raumgruppen, in denen keine 4-zählige Rotationssymmetrie vorhanden ist; zum Beispiel hat die kubische Raumgruppe P23 (Nr. 195) nur 2- und 3-zählige Rotationsachsen, aber 4-zählige.

Ein einfaches kubisches Gitter ist ein Bravais-Gitter, dh es kann als aus der Menge der (unendlichen) Verschiebung eines Seitenwürfels stammend angesehen werden$a$entlang drei orthogonaler Achsen parallel zu den Würfelkanten gemäß der Formel

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Vektoren${\bf R}$stellen Verschiebungen der kubischen Zelle dar, unabhängig von ihrer Position und wo auch immer die Atombasis lokalisiert wurde . Insbesondere muss die Nullverschiebung nicht mit der atomaren Position oder mit einem Scheitelpunkt oder irgendeinem anderen Punkt hoher Symmetrie der kubischen Einheitszelle zusammenfallen.

Zusätzlich zu der durch das Bravais-Gitter repräsentierten Translationssymmetrie können Atompositionen in Kristallstrukturen jedoch auch andere Symmetrien aufweisen. Punktsymmetrien entsprechen insbesondere Raumtransformationen, bei denen mindestens ein Fixpunkt verbleibt. Im allgemeinen Fall ist es auch möglich, Symmetrietransformationen durch spezielle Zusammensetzungen von Nicht-Bravais-Translationen und Punktsymmetrien (Schrägachsen oder Gleitebenen) vornehmen zu lassen.

Natürlich müssen Punkttransformationen mit dem Bravais-Gitter der Translationen kompatibel sein. Aus diesem Grund fehlen einige der möglichen Rotationssymmetrien (z. B. sind in einem Kristall nur 2-, 3-, 4- und 6-zählige Achsen erlaubt). Um diese Kompatibilität deutlich zu machen, ist es praktisch, die Atome an Punkten zu lokalisieren, wo die volle Punktsymmetrie im Fall einer monoatomaren Struktur offensichtlich ist. Noch besser kann man eine spezielle (im Allgemeinen nicht-kubische) Einheitszelle bauen, die Wigner-Seitz (WS)-Zelle .

Im Fall einer einfachen kubischen Kristallstruktur ist die WS-Zelle ein Würfel, der gleich der Einheitszelle ist, was deutlich macht, dass die Punktsymmetrien dieses Gitters die Symmetrien des Würfels sind.

Daher gibt es drei 4-zählige Achsen, und es ist äquivalent, jede dieser Achsen so zu betrachten, dass sie durch eine Kante einer Zelle des Gitters oder durch die Mitte einer Zelle (mit den Kanten ausgerichtet) verläuft. Der Hauptgrund ist, dass es nur eine Punktsymmetrie dieser Art gibt.