Das Pauli-Ausschlussprinzip und die Pfaffsche

Question

Das Pauli-Ausschlussprinzip und die Pfaffsche

Physik
Vielkörper
Wellenfunktion
Quantenmechanik
Pauli-Ausschlussprinzip

Jian

Wir sprechen von spinlosen Fermion-Vielteilchen-Wellenfunktionen.

Die Determinante ist eine sehr schöne Struktur für das Pauli-Ausschlussprinzip, denn wenn zwei Ein-Teilchen-Zustände gleich sind, wird die Vielteilchen-Wellenfunktion automatisch Null. Wir gehen von einem vollständig orthogonalen Satz von Einzelteilchenzuständen aus, um die Slater-Determinante zu konstruieren.

Allerdings bin ich mir bei Pfaffian nicht ganz klar. Denn wir verwenden die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion als Baustein. Und wir verwenden nur einen Baustein.

Zum Beispiel:

Angenommen, wir haben die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion $g(x_1,x_2)=e^{ik_0 x_1} e^{-ik_0 x_2}-e^{ik_0 x_2} e^{-ik_0 x_1} = \sin(k_0 (x_1 -x_2))$

Um Tipparbeit zu sparen, setzen lassen $k_0=1$ Und $g_{12}=g(x_1,x_2)$

$g_{12}=\sin(x_1-x_2)$ bedeutet, dass wir zwei Teilchen besetzen $k_0=\pm 1$ Zustände.

Lassen Sie uns nun Pfaffian verwenden, um eine 4-Körper-Wellenfunktion zu konstruieren:

Ψ (X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}) = Sünde (X_{1} - X_{2}) Sünde (X_{3} - X_{4}) - Sünde (X_{1} - X_{3}) Sünde (X_{2} - X_{4}) + Sünde (X_{1} - X_{4}) Sünde (X_{2} - X_{3})

$\Psi(x_1,x_2,x_3,x_4)\\=\sin(x_1-x_2)\sin(x_3-x_4)-\sin(x_1-x_3)\sin(x_2-x_4)+\sin(x_1-x_4)\sin(x_2-x_3)$

Oder die kürzere Notation:

$\Psi_4:=g_{12}g_{34}-g_{13}g_{24}+ g_{14}g_{23}:= \textbf{Pf}[g_{ij}]$

Meine Frage, wir haben nur zwei Ein-Teilchen-Zustände $k_0=\pm 1$ , aber es gibt 4 Teilchen. Widerspricht es dem Pauli-Ausschlussprinzip?

anna v

"spinloses Fermion" ???? Fermionen haben per Definition Spin 1/2, das sind diejenigen, die dem Pauli-Ausschluss gehorchen. spinless=boson , kein Pauli-Ausschluss .

MannyC

Nein, das ist in Ordnung, das Spin-Statistik-Theorem gilt für Theorien mit Lorentz-Invarianz. In einem generischen Quanten-Vielkörper-Hamiltonian brauchen wir nicht einmal den "Spin" als Quantenzahl. Mit Fermion meint er nur, dass dies Anti-Pendel-Freiheitsgrade sind.

ZeroTheHero

Vielleicht wären einige zusätzliche Informationen über Pfaffianer willkommen.

Jian

Pfaffian ist der Determinante ähnlich, sie sind beide Summationen über Permutationen. Pfaffian kümmert sich aber auch um die „Pairing“-Struktur. Beide dienen als Werkzeug zur Antisymmetrisierung von Vielkörper-Wellenfunktionen. en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian

Jian

Um das Problem zu vereinfachen, verwende ich "spinless fermion". Meine Frage bleibt die gleiche, wenn Sie den Spin hinzufügen,

{k_{0} = \pm 1} \otimes {s =↑, ↓}

$\{k_0=\pm 1 \} \otimes \{ s=\uparrow ,\downarrow \}$ dann Blick auf die Wellenfunktion mit acht Körpern

Ψ_{8} = Pf [g_{i j}]

$\Psi_8=\textbf{Pf}[g_{ij}]$ , 4 Zustände, aber 8 Teilchen. Natürlich können Sie jederzeit weitere Partikel hinzufügen.

Antworten (1)

Das Pauli-Ausschlussprinzip und die Pfaffsche

"spinloses Fermion" ???? Fermionen haben per Definition Spin 1/2, das sind diejenigen, die dem Pauli-Ausschluss gehorchen. spinless=boson , kein Pauli-Ausschluss .
Nein, das ist in Ordnung, das Spin-Statistik-Theorem gilt für Theorien mit Lorentz-Invarianz. In einem generischen Quanten-Vielkörper-Hamiltonian brauchen wir nicht einmal den "Spin" als Quantenzahl. Mit Fermion meint er nur, dass dies Anti-Pendel-Freiheitsgrade sind.
Vielleicht wären einige zusätzliche Informationen über Pfaffianer willkommen.
Pfaffian ist der Determinante ähnlich, sie sind beide Summationen über Permutationen. Pfaffian kümmert sich aber auch um die „Pairing“-Struktur. Beide dienen als Werkzeug zur Antisymmetrisierung von Vielkörper-Wellenfunktionen. en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian
Um das Problem zu vereinfachen, verwende ich "spinless fermion". Meine Frage bleibt die gleiche, wenn Sie den Spin hinzufügen, $\{k_0=\pm 1 \} \otimes \{ s=\uparrow ,\downarrow \}$ dann Blick auf die Wellenfunktion mit acht Körpern $\Psi_8=\textbf{Pf}[g_{ij}]$ , 4 Zustände, aber 8 Teilchen. Natürlich können Sie jederzeit weitere Partikel hinzufügen.

MannyC · Answer 1

Das ist kein Widerspruch, weil der von Ihnen berechnete Pfaffian verschwindet. Lass mich anrufen $x_{ij} = x_i-x_j$ . Für $k \neq i$ oder $j$ wir haben

Sünde (X_{ich J}) = Sünde (X_{ich k} + X_{k J}) = Sünde (X_{ich k}) \cos (X_{k J}) + \cos (X_{ich k}) Sünde (X_{k J})

$\sin(x_{ij}) = \sin(x_{ik}+x_{kj}) = \sin(x_{ik})\cos(x_{kj}) + \cos(x_{ik})\sin(x_{kj})$ Lassen Sie mich aufbauend auf der Notation von OP weiter definieren

h_{i j} = \cos (x_{i j})

$h_{ij} = \cos(x_{ij})$ . Der Pfaffianer liest

\begin{aligned} Ψ_{4} & = G_{34} (G_{13} H_{23} - H_{13} G_{23}) - G_{13} (G_{23} H_{34} + H_{23} G_{34}) + G_{14} G_{23} \\ = G_{34} (G_{13} H_{23} - G_{13} H_{23} - H_{13} G_{23}) + G_{23} (G_{14} - G_{13} H_{34}) \\ = G_{23} (G_{14} - G_{13} H_{34} - H_{13} G_{34}) = \\ = G_{23} (G_{14} - G_{14}) = 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \Psi_4 &= g_{34}(g_{13}h_{23} - h_{13}g_{23}) - g_{13}(g_{23}h_{34}+h_{23}g_{34})+g_{14}g_{23} \\&= g_{34}(g_{13}h_{23} - g_{13}h_{23} - h_{13}g_{23}) + g_{23}(g_{14}-g_{13}h_{34})\\&= g_{23}(g_{14}-g_{13}h_{34}-h_{13}g_{34}) = \\&= g_{23}(g_{14}-g_{14}) = 0\,. \end{align}$

Das Pauli-Ausschlussprinzip und die Pfaffsche

Jian

anna v

MannyC

ZeroTheHero

Jian

Jian

Antworten (1)

MannyC

Wie axiomatisch ist die Symmetrisierungsforderung (dh das Pauli-Prinzip)? (im QM)

Identische Teilchen in der Quantenmechanik

Machen die vier Quantenzahlen nicht zwei Elektronen unterscheidbar?

Verstoß gegen das Pauli-Ausschlussprinzip, warum wird Energie quantisiert?

Nicht unterscheidbare Teilchen, wenn sich Wellenfunktionen nicht überlappen

Antisymmetrische Eigenschaft der fermionischen Wellenfunktion

Ist es falsch, von Wellenfunktionen makroskopischer Körper zu sprechen?

Die Überlappung zweier Slater-Determinantenzustände

Was ist der Sinn von Paulis Ausschlussprinzip, wenn Zeit und Raum kontinuierlich sind?

Warum Pauli-Ausschluss statt Elektronenaufhebung?