Die Überlappung zweier Slater-Determinantenzustände

Angenommen, ich habe zwei fermionische Zahlenzustände in verschiedenen Basen mit derselben Teilchenzahl$N$- Ruf Sie an$|\Psi\rangle$Und$|\Phi\rangle$. In der Ortsbasis kann ich die Vielteilchen-Wellenfunktionen als Slater-Determinanten schreiben:

$$\Psi(x_1,x_2,\dots)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\det(\overline{\psi})$$ $$\Phi(x_1,x_2,\dots)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\det(\overline{\phi})$$ Wo: $$\overline{\psi}=\begin{bmatrix}\psi_1(x_1)&\psi_2(x_1)&\dots&\psi_N(x_1)\\\psi_1(x_2)&\psi_2(x_2)&\dots&\psi_N(x_2)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\psi_1(x_N)&\psi_2(x_N)&\dots&\psi_N(x_N)\end{bmatrix}$$ $$\overline{\phi}=\begin{bmatrix}\phi_1(x_1)&\phi_2(x_1)&\dots&\phi_N(x_1)\\\phi_1(x_2)&\phi_2(x_2)&\dots&\phi_N(x_2)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\phi_1(x_N)&\phi_2(x_N)&\dots&\phi_N(x_N)\end{bmatrix}$$

Angenommen, ich wüsste das$\psi_n,\phi_n$, und ich möchte berechnen$\langle\Psi|\Phi\rangle=\int d\mathbf{x} \Psi^*(\mathbf{x})\Phi(\mathbf{x})$. Gibt es eine nachvollziehbare Möglichkeit, dies zu berechnen? Ich denke, ich könnte die Tatsache gebrauchen$\det(\overline{\Psi}^\dagger\overline{\Phi})=\det(\overline{\Psi}^\dagger)\det(\overline{\Phi})$den Integranden zu konstruieren und dann über alle räumlichen Dimensionen zu integrieren. Aber das scheint wirklich entsetzlich: ein$N\times N$Matrizenmultiplikation und Determinantenrechnung also$N$räumliche Integrationen. Ich glaube nicht, dass es wirklich so kompliziert sein könnte. Gibt es eine Vereinfachung, die ich vermisse, damit ich das nachvollziehbar berechnen kann? Ich hoffe, es würde sich auf so etwas reduzieren:

$$\sum_n\int dx \phi_n^*(x)\psi_n(x)$$ aber richtig antisymmetrisiert, so dass es unter Austausch von Teilchenidentitäten invariant ist. Ich bin jedoch völlig ratlos, wie ich zu einer solchen Form vereinfachen kann.