Das Vorzeichen der Determinante des Dehnungstensors und was es bedeutet

Hintergrund

Ich arbeite mich gerade durch Miltons und Cherkaevs „ Welche Elastizitätstensoren sind realisierbar? “ als Teil meiner Forschung. Ich komme aus der Elektrotechnik, also würde ich sagen, dass meine lineare Algebra als Ingenieur ausreichend ist, aber ich habe mir im vergangenen Jahr Maschinenbau, Kontinuumsmechanik usw. beigebracht.

Milton unternimmt zu Beginn des Abschnitts große Anstrengungen 2 über die extremalen Materialien in Bezug auf die Eigenwerte der Elastizitätsmatrix zu sprechen, wechselt dann aber zur Diskussion der Eigenwerte/Vektoren des Dehnungstensors in Abschnitt 2.1 . Das sagt er dann für einen Dehnungstensor

ϵ = − C ( 0 1 1 0 )
die "Determinante ist nicht-negativ", was ein Tippfehler ist, weil die Determinante definitiv negativ gegeben ist D e T ( k A ) = k N D e T ( A ) für k ∈ R Und A ∈ R N × N .

Neben dem Tippfehler betont er, dass das Vorzeichen der Determinante des Dehnungstensors das "signifikante Merkmal" ist, und beginnt dann eine Diskussion darüber, wie man ein Material findet, das eine Dehnung mit einer positiven Determinante unterstützt.

Meine Frage ist : Was ist die physikalische Einsicht in den Einfluss des Vorzeichens der Determinante des Dehnungstensors und warum ist es das "signifikante Merkmal" für Milton? Ich habe ein Verständnis dafür, was eine negative Determinante im Allgemeinen bedeutet (dh die Änderung der Orientierung), aber alle physikalische Intuition geht hier verloren, wenn Milton dieses Merkmal betont. Was hat es mit der reinen Scherspannung auf sich, die die Orientierung "umkehrt" und von welcher Orientierung spreche ich überhaupt?

PS Ich habe noch ungefähr eine Million andere Fragen zu diesem Papier, falls jemand die Zeit hat, direkt zu sprechen, oder bereit ist, mit mir darüber zu korrespondieren.

Achten Sie auf die Notation und Terminologie. Er spricht vom "Elastizitätstensor" (den ich persönlich als Compliance-Tensor bezeichnen würde), stellt dann aber einen Spezialfall eines Tensors 4. Ordnung als 3x3-Matrix dar. An diesem Punkt verlor ich den Willen, jedes Detail des Papiers zu entwirren.
@alephzero, dieser Tensor wird allgemein als "Steifigkeitstensor" bezeichnet, der Compliance-Tensor ist das Gegenteil von diesem. Das ist derjenige, der Spannungen auf Dehnungen abbildet. Außerdem ist in Abschnitt 2.1 der Tensor, auf den sich das OP bezieht, der Dehnungstensor und nicht der Steifigkeitstensor.
@DanielRevier, es gibt mehrere Mechaniker, die auf Twitter hängen (mich eingeschlossen), wenn Sie über Dinge diskutieren möchten.
@nicoguaro Danke für die Einladung. Ich habe Sie heute auf Twitter gefunden, also würde ich mich freuen, wenn Sie anderen empfehlen können, ihnen zu folgen.

Antworten (2)

Es ist schon eine Weile her, seit ich dieses Papier gelesen habe, aber wenn ich es mir ansehe, würde ich sagen, dass der Tippfehler nicht "nicht negativ" sagt, sondern "determinant". Ich nehme an, dass die Autoren stattdessen "Spur" sagen wollten.

Lassen Sie mich erklären, warum. Wie in einer anderen Antwort erwähnt, stellt die Determinante des Verformungsgradienten die Volumenänderung dar und sollte nicht negativ sein.

Wir können das neue Volumendifferential ausdrücken als

D v ' = D v ( 1 + ϵ 1 ) ( 1 + ϵ 2 ) ( 1 + ϵ 3 ) ,

Wo ϵ ich sind die Eigenwerte des Verzerrungstensors. Wenn wir Terme höherer Ordnung vernachlässigen, bedeutet dies

D v ' = D v ( 1 + ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 ) ,

Und ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 stellt die relative Volumenänderung dar

D v ' − D v D v ,

und es ist gleich der Spur des Tensors.

Beachten Sie auch, dass die Autoren im vorherigen Satz die Eigenwerte des Tensors richtig auflisten, das ist ein weiterer Indikator.

Ich wäre geneigt, Ihnen in Bezug auf den Tippfehler „Bestimmung“ vs. „Spur“ zuzustimmen, aber sie verwenden das Wort „Bestimmung“ mehrmals in der gesamten Arbeit. Gl. 2.5 hat "Nulldeterminante". Nachdem sie die negative Determinante diskutiert haben, wollen sie "unimodale Materialien mit leichten Dehnungen mit positiver Determinante" finden.
Sich vorzustellen, dass sie in der gesamten Zeitung wiederholt das falsche Wort verwendet haben ... Ich hoffe wirklich für meine eigene Recherche, dass sie nicht so schlampig waren. :/
@DanielRevier, aber Gl. 2.5, hat tatsächlich eine Nulldeterminante. Außerdem ist es nicht der Dehnungstensor, sondern der Spannungstensor. Es gibt eine Richtung ohne Spannungen.
In Gl. 2.9 beziehen sie sich auf die Determinante. Also ja, ich denke, dass es einen Tippfehler in dem spezifischen Teil gibt, den Sie in der Frage gepostet haben, und danach scheint die Determinante in Ordnung zu sein. Beachten Sie, dass Sie am Ende die Parameter des Steifheitstensors finden möchten. Sie wandeln also einen bestimmten Stresszustand in einen bestimmten Belastungszustand um; das ist die Aufgabe des Compliance/Steifigkeitstensors.

Wir wissen, dass der Deformationsgradient eine positive Determinante haben muss, weil Material sich selbst nicht passieren kann. Die Determinante ist gleich dem Verhältnis der verformten zu den unverformten infinitesimalen Volumenelementen. Wenn seine Determinante Null ist, dann ist ein Volumen (oder eine Fläche) auf Null zusammengebrochen, was ebenfalls unphysikalisch ist. Bezogen auf die Belastung kann die Bedeutung jedoch eine andere sein. Ich werde morgen mal nachsehen, wenn ich Zeit habe.

Das Vorzeichen der Determinante des Dehnungstensors und was es bedeutet
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