Ich habe ein Volumen, das sich (unter Verwendung eines expliziten Zeitintegrationsschemas) gleichmäßig mit dem Geschwindigkeitsgradienten verformt und Spannungstensor . Ich möchte die Arbeit bestimmen, die durch die Volumendeformation während eines Zeitschritts geleistet wird , wobei sowohl aktuelle als auch frühere Werte von bekannt sind , und Volumen .
Ich habe irgendwo die Formel gesehen , aber ich weiß nicht, ob es richtig ist und wie ich es herleiten soll. sollte Energiedichte sein, aber warum werden ihre nichtdiagonalen Terme verworfen?
Anmerkung: Das Integrationsschema ist eigentlich ein Leap-Frog, aber ich habe das Mid-Step/On-Step-Geschäft vorerst ignoriert und angenommen, dass alles On-Step-Werte sind. Die obige Formel würde das Inkrement in der Mitte des Schrittes korrekt berechnen, Lesen
Die Schlüsselidee hier ist das Konzept der „leistungskonjugierten“ Stress- und Dehnungsratenmessungen. Für den Cauchy-Stress , die Spannungsleistung ist gegeben durch:
Die Quantität gibt die Spannungskraft pro Volumeneinheit an. Verwenden Sie daher das explizite Zeitintegrationsschema:
Die Tensorkontraktion kann umgeschrieben werden als . Dies ist am einfachsten zu beobachten, wenn Sie es in Indexnotation ausarbeiten:
Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors müssen Sie nicht wirklich rechnen explizit weil .
Kurz gesagt, die nichtdiagonalen Terme des Stresstensors berücksichtigen die neue Energie, aber es ist einfach nicht offensichtlich, weil die Formel die Stresskraft auswertet.