Die Bedeutung der Poincarré-Gruppe als Symmetriegruppe

Jede Antwort auf meine Fragen kann willkürliche Kenntnisse der Differentialgeometrie voraussetzen, die ich gerne lernen werde, um die am besten geeignete Formulierung für die Theorie zu verstehen.

Ich möchte die Spezielle Relativitätstheorie als die Theorie einer allgemeinen Lorentz-Mannigfaltigkeit betrachten ( M , G ) Wo M ist diffeomorph zu (der Standard-Diff.-Struktur von) R 4 und die Metrik (mit konstanter Lorentz-Signatur ( − + + + ) ) ist über alle konstant M im koordinatenfreien Sinne. Davon will ich aber nicht ausgehen M = R 4 und das G = ( übliche Matrix ) weil ich es unphysikalisch finde, "lineare Transformationen" auf Positionen in der Raumzeit anzuwenden.

Insbesondere fordere ich (für diese Diskussion), dass die Theorie mit beliebigen glatten Koordinaten (im Sinne der Differentialgeometrie) formuliert wird, wobei wir natürlich globale Koordinaten wählen können, aber kein einzelnes Koordinatensystem in irgendeiner Weise "fundamentaler" ist als ein anderes oder "a priori innerlich". Dies steht im Gegensatz zu dem Fall von R 4 , wobei man als inneres das Koordinatensystem wählt ich D , die Positionen in der Raumzeit als die Tupel von Zahlen zurückgibt, die sie sind , zusammen mit jedem anderen Koordinatensystem, mit dem sie verbunden sind ich D durch eine Poincarré-Transformation.

Physikalisch interpretiere ich die Mannigfaltigkeit als die Menge aller Ereignisse in der Raumzeit und die Metrik als Bezeichnung für Kausalität; insbesondere gibt die Metrik vor, welche (glatten) Kurven hineinlaufen M sind raum-, zeit- und lichtartig. Um Vergangenheit und Zukunft zu spezifizieren, gehen wir von der Existenz eines globalen Vektorfeldes aus X ∈ T M , die an jedem Punkt zukunftsgerichtet definiert ist. Zusammen X Und G spezifizieren Sie die vergangenen und zukünftigen Lichtkegel für jeden Punkt P ∈ M als Untermengen von M (der nicht als Vektorraum betrachtet wird) sowie alle (?!) anderen kausalitätsrelevanten Konzepte wie Cauchy-Flächen und dergleichen.

Meine Fragen:

Frage 1. Im nächsten Schritt dieses theoretischen Aufbaus, der mir nicht ganz klar ist, definiert man eine lineare Wirkung der Lorentzgruppe 1 (Ich denke nicht, dass Poincarré hier Sinn macht?!) auf jedem Tangentialraum T P M . Wie baut man diese Repräsentation auf und begründet physikalisch, warum sowohl die Gruppe als auch die gewählte Repräsentation sinnvoll und die richtige Wahl sind?

Frage 2. Ist es mit den oben genannten Voraussetzungen möglich, sinnvoll zu definieren, wann ein Diffeomorphismus vorliegt X : M → R 4 ist ein "inneres Koordinatensystem"? Wäre dies gleichbedeutend mit der Forderung, dass alle " G -Levi-Civita-Verbindungs-Gerade" Kurven abgebildet werden X zu geraden Kurven hinein R 4 ?

Frage 3. Unter der Annahme, dass das obige sinnvoll ist, was ist die Verbindung der Poincarré-Gruppe mit Koordinatenänderungen zwischen inneren Koordinatensystemen?

Fußnoten:

1 Ich betrachte alle diese Gruppen nur als mathematische Objekte – Lügengruppen mit a priori keiner physikalischen Bedeutung. Ich möchte die physikalische Bedeutung einbeziehen, indem ich argumentiere, warum diese Gruppen mit ihren entsprechenden Aktionen an den entsprechenden Objekten physikalisch sinnvoll sind.

Frage 1 kann ich halb beantworten: Die Lorentzgruppe ist die Isometriegruppe der Tangentialräume.
Und was meinen Sie mit konstanter Metrik im koordinatenfreien Sinne?
@Javier Jetzt, wo du es sagst, bin ich mir nicht sicher, was ich mit konstanter Metrik meine. Es gibt keine Möglichkeit, die Werte eines Abschnitts an verschiedenen Punkten zu vergleichen ... Ich müsste mich wohl mit der Aussage begnügen "es gibt ein Koordinatensystem, so dass die Darstellung von gG ist die konstante Minkowski-Matrix"? Es sei denn, jemand sieht eine Möglichkeit, dies ohne einen solchen Hack zu präzisieren ...
Sie könnten verlangen, dass die Metrik flach ist; laut Wikipedia R nRN ist die universelle Abdeckung jedes vollständigen flachen Verteilers. Wenn Sie also fragen, ob die Raumzeit diffeomorph zu R 4 istR4 Sie sind fertig.
Das Problem beginnt mit Ihrer Annahme: SR ist eine Lorentz-invariante Theorie - es reicht nicht aus, eine allgemeine Lorentzsche Mannigfaltigkeit bereitzustellen, sondern erfordert auch, dass die Poincare-Gruppe die Isometriegruppe ist. In Ihrer Formulierung ist g =G= konstant garantiert einen solchen Zustand nicht. Die von Ihnen vorgeschlagene Einstellung reicht also nicht aus, um SR zu formulieren.
Was Sie tun sollten, ist ( M , g ) zu geben( M, g) so dass die Isometriegruppe durch die Poincare-Gruppe gegeben ist. Dann haben Sie natürlich 4 Vektorfelder auf der Mannigfaltigkeit, die Translationen in 4 Richtungen entsprechen.
@ user110373 Was bedeutet es, dass "die Poincarré-Gruppe die Isometriegruppe von ( M , g ) ist?( M, g) „wobei die Metrik immer noch niemals auf Raumzeitpunkte wirken sollte? Was ist der genaue Unterschied zwischen dem und dem, was ich tun wollte?
@AdomasBaliuka Der einzige Weg g =G= Konstante sinnvoll sein kann, ist die Gruppe der Automorphismen (in der richtigen Kategorie) von M zu betrachtenM , Au t ( M ) _Au t ( M _) , und betrachten Sie dann den Rückzug f ∗ g = gF∗G= g , für alle f ∈ A u t ( M )F∈ Au t ( M _) . Dies garantiert nicht, dass die Poincare-Gruppe die Isometriegruppe ist.
@ user110373 Vorausgesetzt, ich habe es richtig verstanden, garantiert es gemäß der folgenden Antwort, dass Poincaré die Isometriegruppe ist. Könnten Sie Ihren Kommentar oben präzisieren?

Antworten (1)

Zunächst einmal ist Ihre abstrakte Einstellung etwas daneben - es macht keinen Sinn, das zu verlangen G ist "konstant im koordinatenfreien Sinne", weil G nimmt Werte auf T P ∗ M ⊗ T P ∗ M an jedem Punkt, sodass Sie die Werte nicht direkt vergleichen können, um herauszufinden, ob sie "konstant" sind. Eine natürlichere Anforderung für SR scheint dies zu sein ( M , G ) Seien Sie flach, nicht kompakt und vollständig, was alles abstrakte, koordinatenfreie Anforderungen sind, die keinen Bezug zu den Gruppen haben, die Sie untersuchen möchten. Auch ein abstrakter, aber etwas "schummeliger" Weg für Ihren Zweck scheint es zu sein, nur zu verlangen ( M , G ) direkt isometrisch zum Standard-Minkowski-Raum sein. Lassen Sie mich nur anmerken, dass einige die *-Symmetrien für die grundlegenderen Objekte halten und behaupten, dass es die „richtige“ abstrakte Annahme ist, dass die Poincaré-Gruppe die globale Isometriegruppe sein muss. Nun zum Auftritt der Lorentz- und Poincaré-Gruppen in Ihrer Umgebung:

Auf jedem Tangentialraum gibt es eine natürliche Wirkung von G L ( 4 ) einfach weil es ein vierdimensionaler Vektorraum ist. Die Lorentz-Gruppe S Ö ( 1 , 3 ) ist einfach die Untergruppe von G L ( 4 ) das lässt das Pseudo-innere Produkt auf diesem Tangentenraum invariant. Es besteht keine Notwendigkeit, seine Wirkung zu "definieren", es kommt auf diese Weise ganz natürlich. Es wird keine Darstellung gewählt, dies ist natürlich die grundlegende Darstellung von S Ö ( 3 , 1 ) .

Ein Trägheitskoordinatensystem ist einfach eine Isometrie von ( M , G ) Und ( R 4 , η ) Wo η ist die Standard-Minkowski-Metrik. Beachten Sie, dass sich dies von einem allgemeinen Diagramm unterscheidet, da Diagramme keine Isometrien sein müssen und tatsächlich Geodäten darin abbilden M zu geraden Linien hinein R 4

Der Begriff der Poincaré-Gruppe nimmt nun die Idee der Lorentz-Gruppe als Gruppe der "Isometrien" des Pseudo-inneren Produkts auf und macht sie global: Die Poincaré-Gruppe ist die Gruppe der Isometrien von ( M , G ) , oder äquivalent von ( R 4 , η ) . Hier eine Isometrie von M ist ein Diffeomorphismus F : M → M so dass F ∗ G = G .

+1 für "Diagramme müssen keine Isometrien sein" : Dies wird oft übersehen, und es ist in der Tat der Punkt, an dem die Poincaré-Gruppe diese Aufgabe erledigen muss.
Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort. Ich habe zwei Fragen. Erstens: Wenn X ein beliebiges Koordinatensystem von ist M (nicht unbedingt innerlich), was ist die Wirkung einer allgemeinen Lorentz-Matrix Λ ∈ S ( 1 , 3 ) auf dem Vektor ∂ ∂ X 1 + 5 ∂ ∂ X 2 irgendwann? Grundsätzlich mache ich mir Sorgen, dass es keine kanonische Wahl der Basis für die Tangentialräume gibt, um eine Darstellung zu fixieren. Frage 2: Gibt es wirklich einen Isomorphismus von Gruppen zwischen
{ F : M → M :  ist ein Diffeomorphismus und  F ∗ G = G }
und die Poincaré-Gruppe?
@AdomasBaliuka 1. Um das für einen Punkt zu beantworten P ∈ M Man müsste sich das Formular anschauen G P nimmt seine Matrixdarstellung zur Basis ∂ ∂ X ich | P und bestimmen, welche Matrizen es invariant lassen (oder welche Basistransformation macht G P hinein η , was äquivalente Informationen sind). Beachten Sie dies, indem Sie die Koordinaten auswählen X Sie machen meine Antwort bereits unkanonisch. Es gibt keine kanonische Wahl der Basis, aber der Begriff der "Untergruppe von GL (n), die das pseudoinnere Produkt bewahrt" benötigt keine Basis, daher legt er die Lorentz-Gruppe und -Aktion eindeutig fest. 2. Ja.
Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort! Ich kann mir immer noch nicht wirklich vorstellen, wie der Isomorphismus aufgebaut ist. Kennst du irgendwelche Quellen dafür?
@AdomasBaliuka Verwenden Sie die Isometrie zu R 4 und dann hol dir dein Gift zB aus diesem MO-Thread .
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