Die Definition des absoluten Wertes

Question

Die Definition des absoluten Wertes

Mathematik
Absolutwert
Algebra-Vorkalkül

Störend

Der Absolutwert kann auf viele Arten definiert werden, aber dies sind die beiden häufigsten:

1. Als stückweise Funktion

| X | = {\begin{cases} - X & Wenn X < 0 \\ X & Wenn X \geq 0 \end{cases}

$|x|= \begin{cases} -x&\text{if } x < 0\\ x&\text{if } x\geq 0 \end{cases}$

2. Als Prinzip der Quadratwurzel eines Quadrats

| X | = \sqrt{X^{2}}

$|x| = \sqrt{x^2}$

Was hindert uns in der zweiten Definition, die ich hier eingefügt habe, daran, Folgendes zu tun und einen Widerspruch zu erreichen?

| X | = (X^{2})^{\frac{1}{2}} = X Widerspruch

$|x| = (x^{2})^{\frac{1}{2}} = x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Contradiction}$

Ebenso, wenn ich habe $f(x) = \ln(|x|)$ , was ist der Grund, warum der folgende Widerspruch nicht erreicht werden kann:

F (X) = \ln (| X |)

$f(x) = \ln(|x|)$

⟹ F (X) = \ln (\sqrt{X^{2}})

$\implies f(x)=\ln(\sqrt{x^2})$

⟹ F (X) = \ln [(X^{2})^{\frac{1}{2}}]

$\implies f(x) = \ln[(x^2)^{\frac{1}{2}}]$

⟹ F (X) = \frac{1}{2} \ln (X^{2})

$\implies f(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2)$

⟹ F (X) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln (X)

$\implies f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ \ln(x)$

⟹ F (X) = \ln (X) Widerspruch

$\implies f(x) = \ln(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Contradiction}$

Thomas

Wenn Sie verschiedene Definitionen einer mathematischen Funktion verwenden, ist es nicht schwierig, zu einem Widerspruch zu gelangen. Wenn Sie wirklich glauben, dass die Quadratwurzel das tut, was Sie in der dritten Gleichung aufgeschrieben haben, dann

| . |

$|.|$ in der zweiten Gleichung ist nicht richtig definiert. Zum Glück ist es umgekehrt.

Benutzer228113

Was uns davon abhält

| X | = (X^{2})^{1 / 2} [was auch immer es bedeutet] = X ?

$\lvert x\rvert =(x^2)^{1/2} \text{ [whatever it means]} = x\quad ?$ Naja, vorausgesetzt

a^{1 / 2}

$a^{1/2}$ ist definiert als

\sqrt{a}

$\sqrt a$ , die Tatsache, dass

\sqrt{x^{2}} \neq x

$\sqrt{x^2}\ne x$ Wenn

x < 0

$x<0$ .

Einfach schöne Kunst

Eine bessere Definition könnte sein

| x | = D

$|x|=D$ , Wo

D

$D$ ist die Entfernung von

0

$0$ , wodurch wir ohne die von Ihnen angegebenen Widersprüche besser mit komplexen Zahlen umgehen können.

Antworten (4)

Die Definition des absoluten Wertes

Wenn Sie verschiedene Definitionen einer mathematischen Funktion verwenden, ist es nicht schwierig, zu einem Widerspruch zu gelangen. Wenn Sie wirklich glauben, dass die Quadratwurzel das tut, was Sie in der dritten Gleichung aufgeschrieben haben, dann $|.|$ in der zweiten Gleichung ist nicht richtig definiert. Zum Glück ist es umgekehrt.
Was uns davon abhält $| X | = (X^{2})^{1 / 2} [was auch immer es bedeutet] = X ?$ $\lvert x\rvert =(x^2)^{1/2} \text{ [whatever it means]} = x\quad ?$ Naja, vorausgesetzt $a^{1/2}$ ist definiert als $\sqrt a$ , die Tatsache, dass $\sqrt{x^2}\ne x$ Wenn $x<0$ .
Eine bessere Definition könnte sein $|x|=D$ , Wo $D$ ist die Entfernung von $0$ , wodurch wir ohne die von Ihnen angegebenen Widersprüche besser mit komplexen Zahlen umgehen können.

Roby5 · Answer 1

$\sqrt{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}}=x$ , nur wenn $x>0$ , sonst ist es gleich $-x$ .

Das ist denn für jeden $x>0$ , $|x|=x$ und für jeden $x<0$ , $|x|=-x$

Es wird also kein Widerspruch erreicht.

Ich habe nicht abgelehnt, aber es wäre besser, wenn Sie sagen würden, dass es sonst gleich ist $-x$ .

Patrick Stevens · Answer 2

Weil $(x^2)^{1/2}$ ist im Allgemeinen nicht gleich $x$ . Bei der Quadrierung ging die Information über das Vorzeichen von verloren $x$ .

Beim Protokollbeispiel liegt es daran, dass Sie einen Zweig auswählen müssen .

Dieser Kommentar hat mit der von Ihnen bereitgestellten verlinkten Antwort zu tun. Darin heißt es $(a^{b})^{n} \neq a^{bn}$ in der komplexen Analyse (dh bei der Arbeit mit komplexen Variablen), gibt es jedoch Sonderfälle in der reellen Analyse, in denen es zusammenbricht, ich vermute, dies wäre einer davon?
Ja, das ist einer davon. Wenn alles positiv ist, geht es dir gut. Wenn $a$ negativ ist, dann könnten Sie Probleme bekommen.

Benutzer247327 · Answer 3

Was uns davon abhält zu sagen $|x|= (x^2)^{1/2}= x$ ist, dass die zweite Gleichheit einfach NICHT wahr ist! $a^{1/2}$ ist definiert als "die positive Zahl $x$ so dass $x^2= a$ ". Insbesondere wenn $x= -2$ , Dann $x^2= (-2)^2= 4$ und dann $((-2)^2)^{1/2}= 4^{1/2}= 2$ , nicht $-2$ .

Störend · Answer 4

Zunächst einmal möchte ich allen für ihre Antworten hier danken, aber ich fand, dass dies die allgemeinste Antwort war, nachdem ich eine Weile über diese Frage nachgedacht hatte.

(A^{N})^{\frac{1}{N}} = A, Wenn N ist ungerade

$(a^{n})^{\frac{1}{n}} = a \ \ ,\ \text{if} \ \ n \ \ \text{is odd}$

(A^{N})^{\frac{1}{N}} = | A |, Wenn N ist gerade

$(a^{n})^{\frac{1}{n}} = |a|\ \ ,\ \text{if} \ \ n \ \ \text{is even}$

Etwas formaler formuliert:

(A^{2 N + 1})^{\frac{1}{2 N + 1}} = A, \forall N \in Z

$(a^{2n+1})^{\frac{1}{2n+1}} = a \ \ ,\ \forall n\in\mathbb{Z}$

(A^{2 N})^{\frac{1}{2 N}} = | A |, \forall N \in Z

$(a^{2n})^{\frac{1}{2n}} = |a|\ \ ,\ \forall n\in\mathbb{Z}$

Teile dieser Antwort und der dahinter entwickelten Intuition stammen von Pauls Online-Notizen , daher muss dieser Website die volle Anerkennung zuteil werden.

Die Definition des absoluten Wertes

Störend

Thomas

Benutzer228113

Einfach schöne Kunst

Antworten (4)

Roby5

Integral

Patrick Stevens

Störend

Patrick Stevens

Benutzer247327

Störend

Spivak Frage 14, Kapitel 1, Klärung einer Aussage.

Warum kann nicht |x−2||x−2||x-2| kleiner als null sein?

Absolutwert-Ungleichungen (Quadrat)

Allgemeine Strategie zum Lösen von Absolutwertgleichungen, die die Addition mehrerer Absolutwertfunktionen beinhalten

Bereich von xxx, für den die Modulungleichung gilt: |x2−2x−8|>2x|x2−2x−8|>2x|x^2-2x-8| > 2x : Klärungsbedarf bezüglich des Lösungssatzes

was bedeutet m<|x| implizieren?

Lösen eines Gleichungssystems mit einem absoluten Wert

Absolute Werte mit Ungleichungen verstehen

Ich habe Mühe, den absoluten Wert zu verstehen

Wie gehen Sie vor, wenn Sie das Quadrat vervollständigen?