Die Position eines Objekts ist messgeräteabhängig. Also nicht messbar?

Der Standort eines Objekts X hängt davon ab, wie wir unser Koordinatensystem wählen. Wenn wir den Nullpunkt verschieben, X ändert sich auch. Da wir jedoch Translationsinvarianz haben, können wir solche Verschiebungen immer durchführen, ohne etwas zu ändern.

Nun, in Quantentheorien wird normalerweise viel Wert auf Größen gelegt, die eichunabhängig sind. Beispielsweise kann die Phase einer Wellenfunktion in der Quantenmechanik mit global geändert werden U ( 1 ) Transformationen und ist daher eichabhängig. Also ganz analog wie wir die Position eines Objekts durch Translationen verschieben können, können wir hier die Phase der Wellenfunktion verschieben.

Wie unterscheiden sich diese beiden Situationen? Da sowohl der Ort als auch die Phase der Wellenfunktion davon abhängen, wie wir unsere Koordinatensysteme wählen, sollten beide nicht messbar sein?!

Antworten (2)

Der Ort eines Objekts x hängt davon ab, wie wir unser Koordinatensystem wählen.

Das ist nicht wahr. Die Position eines Objekts ist unveränderlich; es ist die Bezeichnung , die wir dieser Position zuweisen, die von unserem Koordinatensystem abhängt.

Nimm ein leeres Blatt Papier und zeichne einen Punkt darauf. Wo ist der Punkt? Es scheint eine Art Nicht-Antwort zu sein, aber eine vernünftige Antwort wäre "es ist, wo es ist".

Dies ist für die Berechnung von Dingen nicht besonders nützlich, daher entscheiden wir uns normalerweise dafür, dem Punkt eine numerische Bezeichnung zuzuweisen. Wir können dies auf verschiedene Arten tun – wir könnten ein geradliniges Gitter wählen, oder wir könnten ein polares Gitter oder etwas Exotischeres wählen; wir könnten den Koordinatenursprung so wählen, dass er in der Mitte der Seite liegt, oder wir könnten stattdessen unten links wählen; und bei jedem gültigen Koordinatensystem können wir es dehnen oder komprimieren, um ein anderes zu erhalten.

Der Punkt, den Sie auf das Papier gezeichnet haben, hat sich jedoch nicht bewegt - das Vertauschen von Etiketten, was Physiker in unserer Vorstellung tun, hat keine Auswirkung auf die Welt oder auf Messungen, die wir darin durchführen könnten. Ein Koordinatensystem ist einfach eine Auswahl von Bezeichnungen für die Position der beobachtbaren Größe .

Wie unterscheiden sich diese beiden Situationen?

Auf dieser Ebene sind sie es nicht. Sagen, dass die Koordinaten eines bestimmten Punktes sind ( 2 , 3 ) bedeutet absolut nichts, es sei denn, ich gebe ein Koordinatensystem an, was im Wesentlichen auf eine Wahl des Messgeräts hinausläuft. Ebenso ist zu sagen, dass die globale Phase einer Wellenfunktion ist π / 4 ist bedeutungslos, es sei denn, ich stelle irgendeinen Bezugspunkt her. Dies wäre nicht unmöglich - ich könnte verlangen, dass die Wellenfunktion ausgewertet wird X = 0 rein echt sein T = 0 , und berechnen Sie dann die globale Phase der Wellenfunktion zu einem beliebigen anderen Zeitpunkt basierend auf diesem Referenzpunkt.

Der Unterschied liegt darin, dass die Position eine beobachtbare Größe ist, die Wellenfunktion jedoch nicht. Wenn es irgendwie möglich wäre, den genauen Wert von zu ermitteln ψ ( X ) , dann könnten wir wie oben erwähnt einen Referenzpunkt setzen und einen sinnvollen Begriff der beobachtbaren globalen Phase definieren. Allerdings können wir nur tatsächlich messen | ψ | 2 , wir können nicht zurückgehen, um eindeutig zu bestimmen ψ , und daher hat die globale Phase einer Wellenfunktion keinen messbaren physikalischen Inhalt.

Danke! Was mich verwirrt, ist, dass normalerweise argumentiert wird, dass die Phase der Wellenfunktion (oder die Wellenfunktion selbst) nicht beobachtbar sind, WEIL sie durch U (1) -Transformationen beliebig geändert werden können. Dies scheint jedoch angesichts der obigen Analogie mit dem Ort eines Objekts nicht zuzutreffen.
In gewissem Sinne würde ich sogar behaupten, dass die Situation noch analoger ist. Wir können die Phase einer Wellenfunktion messen, wenn wir einen Bezugspunkt angeben. Mit anderen Worten, wir können die Phase relativ zur Phase einer anderen Wellenfunktion messen. Analog können wir den Ort nur relativ zum Ort anderer Objekte messen.
@JakobH Aus der Perspektive der Top-Down-Theorie sind die (reinen) Zustände eines Quantensystems Elemente eines projektiven Hilbert-Raums , was bedeutet, dass die Änderung der globalen Phase genau demselben physikalischen Zustand entspricht - deshalb ist die Phase nicht messbar .
Die U(1)-Invarianz bezieht sich auf die globale Phase – das Multiplizieren des gesamten Zustands mit einigen e ich ϕ . Relative Phasen, zB zwischen verschiedenen Punkten im Raum, sind zwar messbar.
@J.Murray Wenn wir die Schrödinger-Gleichung in einem Koordinatensystem lösen, erhalten wir die p-Orbitale. Wenn wir es wieder lösen, indem wir das Koordinatensystem leicht verschieben (eine kleine Drehung um die z-Achse), dann erhalten wir wieder p-Orbitale, aber jetzt die Wellenfunktionen P X Und P j wird anders sein. Es scheint, dass die Lösung von der Wahl des Koordinatensystems abhängt, aber ich weiß, dass dies nicht passieren kann. Wo verstehe ich es falsch? Vielen Dank im Voraus.
@adosar Die 2 P X , 2 P j , Und 2 P z Wellenfunktionen bilden eine Basis des Unterraums N = 2 , l = 1 . Wenn Sie Ihre Koordinaten drehen ( X , j , z ) → ( X ' , j ' , z ) , dann erhalten Sie beschriftete Orbitale 2 P X ' , 2 P j ' , Und 2 P z die eine unterschiedliche Basis desselben Unterraums bilden. Im Wesentlichen führt eine Wahl des Koordinatensystems zu einer "natürlichen" Wahl der Basis, sodass ein anderes Koordinatensystem "natürlich" eine andere (aber gleichermaßen gültige) Basis erzeugen würde.
@J.Murray Danke für die Antwort. Wäre die Wahrscheinlichkeitsdichte jetzt anders? Ich meine die 2 P X ' , 2 P j ' wären Funktionen wie:
2 P X ' = X ' F ( R ' )
2 P j ' = j ' F ( R ' )
Wie ist also gleich gültig? Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir eine Quelle mit den richtigen mathematischen Transformationen geben könnten.

  1. Translationssymmetrie ist keine Eichsymmetrie. Ebensowenig die Wahl der Koordinaten/Ursprung, da wir koordinatenunabhängige Notationen aus der Differentialgeometrie verwenden können. Ein physikalisches System hat genau dann eine Eichsymmetrie, wenn seine Hamilton-Formulierung eingeschränkt ist oder wenn seine Lagrange-Formulierung Lösungen hat, die beliebige Funktionen der (Raum-)Zeit enthalten, die nicht aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Äquivalent dazu hat die Hessische der Lagrangedichte bezüglich der verallgemeinerten Geschwindigkeiten keinen vollen Rang, ist also nicht invertierbar. Weitere Informationen zu den unterschiedlichen Bedingungen für Eichtheorien in den Hamilton- und Lagrange-Formulierungen finden Sie in dieser Antwort von mir . Der Besitz von Translationssymmetrie impliziert nicht, dass das System eine Eichsymmetrie hat.

  2. Die Quantenmechanik betont das Prinzip der Eichinvarianz nicht mehr oder weniger als die klassische Mechanik, aber die globale Phase in der Quantenmechanik ist kein Beispiel für eine Eichsymmetrie . Die globale Phase ist auch keine "Wahl des Koordinatensystems": Die wahren "Zustände" in der Quantenmechanik sind Strahlen im Hilbert-Raum, die Punkten im projektiven Hilbert-Raum entsprechen. Wenn wir stattdessen mit "Zuständen" im Hilbert-Raum arbeiten, wählen wir - konsequent - irgendein Element des Strahls als seinen Repräsentanten. Dies ist nicht analog zu einer Wahl des Koordinatensystems – die Wahl der Koordinaten auf dem (projektiven) Raum ist völlig unabhängig von dieser Wahl der Repräsentanten. Die Wahl der Vertreter ist a priori willkürlichund beeinflusst keine der Vorhersagen der Theorie. In diesem Sinne ähnelt es einer Wahl des Koordinatensystems, ist es aber wirklich nicht - der Hilbert-Raum ist einfach größer als der tatsächliche Raum der Zustände, und das müssen wir berücksichtigen. Das ist keine Spitzfindigkeit, aber der Kern dessen, warum die Darstellung von Symmetriegruppen in der Quantenmechanik subtiler ist als in der klassischen Mechanik, siehe diese Fragen und Antworten von mir .

Die Position eines Objekts ist messgeräteabhängig. Also nicht messbar?
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