Frage zur Ladungs- und Eichtransformation

Du hast natürlich Recht! Physikalische Observablen müssen eichinvariant sein. Das heißt aber nicht, dass sie neutral sein müssen. Sie könnten unter der globalen Symmetrie geladen und unter der lokalen Eichsymmetrie neutral sein.

Insbesondere wird durch eine Funktion eine lokale Spursymmetrie erzeugt$\alpha(x)$Wo$\alpha(x) \to 0$als$|x| \to \infty$. Eine globale Symmetrie hat natürlich$\alpha(x) =$Konstante, die die obige Eigenschaft nicht erfüllt. Eine Möglichkeit, einen geladenen eichinvarianten Operator zu haben, besteht darin, ihn mit einer Wilson-Linie zu verbinden, die den Operator mit einem Punkt im Unendlichen verbindet.

Um ein bisschen mehr Details hinzuzufügen, eine Wilson-Linie$W_{{\cal P},q}(x_1,x_2)$ist ein Linienoperator (definiert entlang eines Pfades${\cal P}$), die sich unter einer Eichsymmetrie transformiert als (der Einfachheit halber abelsche Symmetrie vorausgesetzt)

$$W_{{\cal P},q}(x_1,x_2) \to e^{- i q \alpha(x_1) } W_{{\cal P},q}(x_1,x_2) e^{ i q \alpha(x_2) } .$$ Ein geladener lokaler Operator transformiert unter Eichsymmetrie als $${\cal O}(x) \to e^{ - i q \alpha(x) } {\cal O}(x) .$$ Wo $q$ist Sache des Staates. Wir konstruieren nun den Operator $${\tilde {\cal O}}(x) = W_{{\cal P},q}(\infty,x){\cal O}(x)$$ Dies verwandelt sich als $${\tilde {\cal O}}(x) \to e^{ - i q \alpha(\infty)} {\tilde {\cal O}}(x) .$$ Dann, ${\tilde {\cal O}}(x)$ist invariant unter lokalen Eichtransformationen, aber nicht invariant unter globalen Symmetrietransformationen.

Eine grobe Antwort lautet: Ja, alle physikalischen Zustände müssen im Netz ladungsneutral sein , aber es kann lokale Ladungsungleichgewichte geben, die irgendwo anders im Raum ausgeglichen werden. Ein schneller und schmutziger Weg, dies zu sehen, besteht darin, periodische räumliche Randbedingungen zu betrachten und zu beachten, dass die integrale Form des Gaußschen Gesetzes die Gesamtladung angibt$Q_\text{total} = \oint_{\partial V} {\bf E} \cdot d{\bf S}$verschwindet trivial, weil es keine Grenze gibt.

Allgemeiner gesagt, ist es in der QFT bequem anzunehmen, dass alle Felder lokalisiert sind und im räumlichen Unendlichen schnell absterben, was es uns ermöglicht, frei nach Teilen zu integrieren und Grenzterme zu ignorieren. Wir können dies nicht für eine Eichtheorie mit einer Gesamtladung ungleich Null tun, da dann die integrale Form des Gaußschen Gesetzes ergibt, dass der Gesamtfluss nicht mit der Entfernung abstirbt, und wir immer sorgfältig Grenzterme einbeziehen müssen, wenn wir partiell integrieren. Dies macht die mathematische Formalisierung von Eichtheorien mit Nettoladung ziemlich schwierig.

Noch eine andere Möglichkeit, das Problem zu sehen, ist, dass wir in QFT wollen, dass Teilchenerzeugungsoperatoren lokal sind, so dass ein Teilchen lokal aus dem Vakuum erzeugt werden kann. Aber ein geladenes Teilchen (z. B. ein magnetischer Monopol) ist ein topologischer Defekt, der sich in beliebiger Entfernung "bemerkbar macht", so dass einzelne eichgeladene Teilchen nicht lokal erzeugt werden können. Aber mehrere Ladungen können lokal erzeugt werden (z. B. Erzeugung und Vernichtung von Vakuumpaaren), solange ihre Nettoladung Null ist, weil sich ihre fernen Felder aufheben und sie weit entfernt trivial aussehen. Auf diese Weise muss ein Dirac-Magnetmonopol mit einem Magnetflussrohr verbunden werden, das entweder bis ins Unendliche reicht (und daher nicht lokal ist) oder an einem Monopol mit entgegengesetzter Ladung endet.