Die Wahl eines Zustands im algebraischen Ansatz für QM und QFT

Stellen Sie sich ein Quantensystem vor, das durch beschrieben wird ∗ -Algebra A . Lassen ω : A → C ein Staat sein. Durch die Diskussion zu dieser Frage ist eine Wahl des algebraischen Zustands möglich ∗ -Darstellung von A auf einem Hilbert-Raum mittels der GNS-Konstruktion, die ein Tripel erzeugt ( H ω , π ω , Ω ω ) .

Es ist eine Tatsache, dass alle Dichtematrizen auf H ω algebraische Zustände hervorrufen. Wir definieren dann F ( ω ) das Folium von ω die Menge aller algebraischen Zustände sein, die als Dichtematrizen darstellbar sind H ω . Ein Zustand wird dann in Bezug auf normal gesagt ω wenn es dazugehört F ( ω ) .

Wenn wir also die GNS-Konstruktion durchführen und mit dem Hilbert-Raum arbeiten H ω schauen wir uns einfach die Normalzustände an ω und vergiss für einen Moment die anderen.

Dies lädt zu zwei natürlichen Fragen ein:

  1. Es scheint, dass wir im Gegensatz zur üblichen QM beim algebraischen Ansatz einen Zustand aus mathematischen Gründen auswählen.

    Im QM wählen wir eine Beobachtungsgröße aus, sie hat eine Basis. Wir schreiben auf dieser Grundlage einen Zustand, und er hat die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Messungen der Observablen.

    Wir bereiten das System durch Messung auf einen Zustand vor. Wir wählen also gewissermaßen den Zustand nicht aus, durch die Art und Weise, wie das System vorbereitet wurde, und durch die physikalische Bedeutung der Eigenzustände von Observablen kennen wir den Anfangszustand.

    Dies steht im Gegensatz zum algebraischen Ansatz, bei dem wir einen Zustand auswählen, um das GNS-Tripel zu erzeugen. Ich meine, es scheint keine physische Motivation zu geben, eines anstelle eines anderen zu wählen, und dies scheint sich stark von QM zu unterscheiden, wo der Akt der Vorbereitung des Systems uns einen Anfangszustand aufzwingt.

    Warum also scheinen wir beim algebraischen Ansatz einen Zustand aus mathematischen Gründen zu wählen, während es in der QM so aussieht, als ob der Zustand tatsächlich aus der Physik kommt?

    Wie diktiert die tatsächliche Physik des Problems den Zustand im algebraischen Ansatz, wie in der üblichen QM?

  2. Mehr als das, wenn man eins gibt ω es erzeugt das GNS-Tripel ( H ω , π ω , Ω ω ) . Es hat eine ganze Sammlung anderer Zustände F ( ω ) auf demselben Hilbertraum. Warum also sollte man wählen ω anstelle von anderen ω ' ∈ F ( ω ) ? Ich kann hier keinen Grund sehen, der mit der Physik zusammenhängt.

Bei beiden Fragen besteht das Problem darin, dass ich die Verbindung zwischen Mathematik und Physik nicht sehe.

Ich stimme Ihnen vollkommen zu, dass die Physik in dieser hochabstrakten Mathematik schwer zu erkennen ist, und ich würde dies auch als Schwäche des algebraischen Ansatzes ansehen. Betrachten Sie als Beispiel, bei dem Sie die Wahl des Zustands deutlich sehen, das Vakuum (="Dirac-Meer") in einer QFT. Dies ist ein Referenzzustand, der "keine Partikel" genannt wird, aber abhängig von externen Feldern ist diese Wahl nicht eindeutig. Aber was Sie hier sehen, ist, dass das Problem, wie man den Zustand wählt, nicht nur im algebraischen Ansatz vorhanden ist, auch im üblichen muss man fragen: "Was ist nun das richtige Vakuum?"

Antworten (2)

Die GNS-Konstruktion erzeugt eine Darstellung der C ∗ Algebra über einem Hilbertraum. Wir wissen, dass wir, wenn wir von einem reinen Zustand ausgehen, zu einer irreduziblen Darstellung gelangen, die ein elementares Quantensystem beschreibt. Wenn wir von einem anderen Zustand ausgehen, beschreibt die Darstellung ein anderes Quantensystem. Einige dieser Darstellungen sind einheitlich äquivalent, und wir betrachten sie als äquivalent im physikalischen Sinne. Zum Beispiel zwei Spin- 1 2 System mit gedrehten Achsen gehören zu den Spin- 1 2 Art von Systemen.

Es ist wahr, dass, wenn die Operatoralgebra die Heisenberg-Weyl-Algebra ist, alle GNS-Darstellungen einheitlich äquivalent sind (The Stone-von Neumann Theorem), aber das ist wirklich eine Ausnahme. Im Allgemeinen haben wir viele inäquivalente Darstellungen, die jeweils durch den Zustand parametrisiert sind, von dem wir ausgegangen sind. Dies kann sogar in der Quantenmechanik passieren, wenn unsere Algebra ist M A T ( N ) .

Über die physikalische Bedeutung der inäquivalenten Darstellungen

Ich kenne zwei Ansätze, die den obigen inäquivalenten Darstellungen eine physikalische Bedeutung geben können

  1. Rieffels Ansatz: Wie oben ausgeführt, repräsentieren die unterschiedlichen Darstellungen unterschiedliche Quantensysteme. Rieffel untersuchte die Möglichkeit, dass diese Darstellungen aus der Quantisierung eines klassischen Phasenraums entstehen. Wir wissen, dass wir bei der Quantisierung eines Systems viele inäquivalente Quantensysteme erhalten können. Somit sind bei diesem Ansatz die inäquivalenten Darstellungen tatsächlich inäquivalente Quantisierungen eines Systems, das auf einem klassischen Phasenraum definiert ist (im Allgemeinen eine Giftmannigfaltigkeit).

  2. Eine zweite Möglichkeit, wie wir die inäquivalenten Darstellungen interpretieren können, besteht darin, dass wir uns den Raum von (verschiedenen) Funktionalen in der GNS-Konstruktion (oder einem Unterraum davon) als einen klassischen (Phasen-)Raum vorstellen können. Auf diese Weise erreichen wir ein parametrisiertes Quantensystem. Dieser Ansatz ist besonders transparent, wenn unsere Darstellungen eine kohärente Raumdarstellung sind, dann ist sie tatsächlich durch einen Phasenraum parametrisiert. Parametrisierte Quantensysteme haben viele moderne Anwendungen, von der Quantenkontrolle bis hin zu topologischen Isolatoren.

Es gibt einen Punkt, der mich verwirrt. Ich dachte, eins ∗ -Algebra A sollte ein bestimmtes System beschreiben (wie einen harmonischen Oszillator, ein freies KG-Feld usw.). Nach Ihrer Antwort scheinen die Darstellungen bestimmte Systeme zu beschreiben, und zwar ein bestimmtes ∗ -Algebra können wir Darstellungen haben, die verschiedene Systeme beschreiben. Also nicht A letztendlich ein einziges Quantensystem repräsentieren? Warum beschreibt es mehr als eine?
Nehmen wir zum Beispiel die (universelle Hüll-) Algebra des Spins ( S u ( 2 ) ). Clevere Auswahlen der GNS-Zustände können alle seine Darstellungen erzeugen, die dem Spin entsprechen S = 0 , 1 2 , 1 , … usw. Wir können alle diese Darstellungen Spinnsysteme nennen; während jede Darstellung ein elementares Spinnsystem ist, da es irreduzibel ist.
Bitte geben Sie einige Referenzen an, die die Verwendung parametrisierter Quantensysteme mit inäquivalenten Darstellungen zeigen!
@ArnoldNeumaier Das bekannteste Beispiel ist der Fall der spontanen Symmetriebrechung. In diesem Fall kann die inäquivalente Vakua durch Goldstone-Feldkonfigurationen gekennzeichnet werden. Siehe zum Beispiel arxiv.org/abs/1111.3228v2 Abschnitt 4. Ein weiteres Beispiel (das nicht vollständig orthogonal ist) ist eine Bogoliubov-Transformation mit Nicht-Hilbert-Schmidt-off-diagonalen Elementen, siehe www1.maths.leeds.ac.uk/ ~siru/papers/p10.pdf . In diesem Fall kann der "Vakuumverteiler" durch einen unendlich dimensionalen symmetrischen Raum parametrisiert werden.
Forts. Ein Spezialfall des Obigen ist beispielsweise ein komplexes Skalarfeld mit einer modifizierten komplexen Struktur, die durch eine Bogoliubov-Transformation mit der ursprünglichen verbunden ist. Dies hängt auch mit externen Feldproblemen von Fermionen zusammen. Hier muss der Wechselwirkungs-Hamilton-Operator Hilbert-Schmidt von diagonalen Elementen haben, damit der Wechselwirkungs-Hamilton-Operator in der zweiten Quantisierung über das freie Vakuum implementiert werden kann www1.maths.leeds.ac.uk/~siru/papers/p8.pdf .
Laut Mickelsson ist der Nicht-Hilbert-Schmidt-Fall ein Zeichen dafür, dass die Theorie einer Renormierung bedarf und die renormierten Versionen einer Teilmenge von Operatoren tatsächlich Hilbert-Schmidt sind.
Wo sind die zusammenhängenden Zustände in diesem Zusammenhang?
Nehmen wir zum Beispiel den Bogoliubov-Fall (für Bosonen), der Vakuumverteiler wird durch den unendlich dimensionalen Verteiler des Typs parametrisiert lim N → ∞ S P ( 2 N ) / U ( N ) . Dies ist eine Mannigfaltigkeit mit kohärentem Zustand, und die inäquivalenten Vakuen sind kohärente Vektoren.
Die algebraischen Eigenschaften von Observablen sind also zu allgemein, in dem Sinne, dass verschiedene Systeme das Gleiche haben könnten ∗ -Algebra. Beim Spin sind alle Drehimpulse erfüllt [ S ich , S J ] = ich ℏ ϵ ich J k S k , aber für ein bestimmtes System haben wir bestimmte Werte für die Quantenzahl S , während die Algebra mit allen Werten kompatibel ist. Zum Schleudern J , benötigen wir einen Zustand, den die GNS-Darstellung beschreibt S 2 als ℏ 2 J ( J + 1 ) 1 , und daher konzentrieren wir uns auf sein Folium. Wäre dies eine Superselektionsregel?
Ich stimme zu, so wie ich es sehe, ist ein Quantensystem eher mit einer Darstellung der Algebra als mit der Algebra selbst verbunden. Im endlichdimensionalen Fall gehören Darstellungen unterschiedlicher Dimensionen automatisch zu unterschiedlichen Superselektionssektoren, da es keine einheitliche Transformation zwischen unterschiedlichen Dimensionen gibt.

Die übliche physikalische Wahl für den bevorzugten Zustand in der relativistischen Quantenmechanik, zumindest in der flachen Raumzeit, ist das Vakuum (oder der Grundzustand). Die Idee ist, dass ein solcher Zustand einige sehr spezielle physikalische Eigenschaften hat, die ihn für eine bestimmte Theorie einzigartig machen. Dies ist natürlich nicht immer der Fall. Zunächst sollte es sich um einen Zustand handeln, der rein und invariant bezüglich der Wirkung auf die Algebra kanonischer (Anti-)Vertauschungsrelationen der orthochronen, eigentlichen Poincaré-Gruppe ist. Außerdem sollte es ein Grundzustand in Bezug auf das dynamische System sein, das durch Zeitübersetzungen gegeben ist ( dhes muss ein Grundzustand für den Hamiltonoperator sein). Den Vakuumzustand für eine gegebene (wechselwirkende) Quantenfeldtheorie zu „finden“, ist sehr herausfordernd, und es gibt nur sehr wenige Ergebnisse dieser Art.

In gekrümmten Raumzeiten gibt es normalerweise keine Vorstellung von einem Vakuum, und es werden andere Arten ausgezeichneter Zustände verwendet, wie z. daher werde ich mich dazu nicht weiter äußern).

Lassen Sie mich etwas mehr auf die Idee der Vakua im algebraischen Ansatz eingehen und wie die Unterscheidung zwischen ihnen zu unäquivalenten und physikalisch unterschiedlichen Darstellungen führt.

Gegeben sei ein klassischer symplektischer Raum ( X , σ ) (von Testfunktionen für die klassischen Felder, die als Verteilungen angesehen werden) können wir darauf die "Quantisierung" anwenden (genauer gesagt einen geeignet definierten Quantisierungsfunktor W H ) um die Algebra der kanonischen Vertauschungsbeziehungen zu erhalten W H ( X , σ ) . Angenommen, wie es normalerweise der Fall ist, ( X , σ ) tragen eine symplektische Darstellung der Poincaré-Gruppe oder einer anderen Gruppe G (nennen wir eine solche Repräsentation ( S G ) G ∈ G ); Dann ( W H ( S G ) ) G ∈ G ist eine Darstellung der Poincaré-Gruppe auf den Quantenobservablen W H ( X , σ ) , Abbildung von Quantenfeldern auf Quantenfelder (wie es die üblichen Axiome der Quantenfeldtheorie erfordern, zB in der Gårding-Wightman-Formulierung).

Nun ist klar, dass sowohl freie als auch interagierende Theorien derselben Art ( z. B. Theorien, die skalare, nicht geladene Felder beschreiben) denselben Raum von Testfunktionen und daher dieselbe abstrakte Algebra kanonischer Kommutierungsbeziehungen haben. Wie können wir also zwischen einer freien und einer interagierenden Theorie unterscheiden?

Durch Auswahl des geeigneten Vakuumzustands.

Jeder Vakuumzustand ist G -invariant, und der Satz von Haag sagt uns, dass zwei gegeben sind G -invariante Zustände (es gibt eine zusätzliche technische Bedingung, die normalerweise von physikalischen Zuständen erfüllt wird), entweder sind sie gleich oder disjunkt (in dem Sinne, dass einer in Bezug auf den anderen nicht normal ist). Daher zu verschiedenen vacua (eigentlich G -invariante Zustände) entsprechen inäquivalente Darstellungen der kanonischen Vertauschungsbeziehungen, die wiederum unterschiedlichen physikalischen Systemen entsprechen. Das ist einerseits beruhigend, andererseits etwas lästig, denn es impliziert, dass die freien und wechselwirkenden Systeme, die derselben Art von Feld (z. B. einem Skalarfeld) entsprechen, durch inäquivalente Darstellungen derselben kanonischen Vertauschungsbeziehungen beschrieben werden müssen .

Tatsache ist, dass, während die Darstellungen freier Theorien vom mathematischen Standpunkt aus sehr gut verstanden werden und die sogenannten Fock-Darstellungen sind, die Darstellungen interagierender Theorien (mit anderen Worten, die interagierenden G -invariante (Vakuum-)Zustände) sind für alle "interessanten" relativistischen Wechselwirkungstheorien in unbekannt 3 + 1 Abmessungen . Dies ist ein notorisch sehr schwieriges offenes Problem in der mathematischen Physik (es gibt einen Clay-Preis von $ 1 , 000 , 000 zur Lösung dieses Problems für eine Yang-Mills-Theorie) und kann (soweit ich weiß) nicht mit dem algebraischen Ansatz untersucht werden, da dieser zu allgemein ist. Die wenigen Fälle (in Dimension 1 + 1 Und 2 + 1 ), wo das wechselwirkende Vakuum bekannt ist, wurden vor langer Zeit (sechziger und siebziger Jahre) von berühmten mathematischen Physikern wie Glimm, Guerra, Jaffe, Rosen und anderen (und in jüngerer Zeit von der Fields-Medaille Martin Hairer) unter Verwendung von Operator und Feynman untersucht. integrale Techniken. Ihre Ergebnisse können natürlich in den algebraischen Formalismus übersetzt werden, und das so definierte wechselwirkende Vakuum kann als disjunkt vom freien Fock-Vakuum nachgewiesen werden, aber ersteres kann nicht direkt durch algebraische Überlegungen charakterisiert werden.

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