Die Wellenfunktion eines Systems aus zwei identischen Teilchen

Für ein System aus zwei identischen Teilchen, wo R 1 ist der Positionsvektor von Teilchen 1 und R 2 ist die Position vec. von Teilchen 2 sollte die Wellenfunktion einen der Plus- oder Minuszustände haben:

ψ ± ( R 1 , R 2 ) = A [ ψ A ( R 1 ) ψ B ( R 2 ) ± ψ B ( R 1 ) ψ A ( R 2 ) ] ,
Wo ψ A Und ψ B sind die Wellenfunktionen von Teilchen 1 bzw. 2 [Gleichung 5.10 von Griffith's Intro to Quantum Mechanics 2nd Ed.].

Ich sehe, dass diese Gleichung die Wellenfunktion macht ψ ± behandeln die beiden Teilchen identisch, aber ich kenne keinen Beweis dafür, dass es tatsächlich die einzige Möglichkeit ist, diese Wellengleichung zu schreiben, um sie identisch zu behandeln. Warum zum Beispiel nicht eine Wellenfunktion wie:

ψ ± ( R 1 , R 2 ) = A ψ A 2 ( R 1 ) ψ B 2 ( R 2 ) ± ψ B 2 ( R 1 ) ψ A 2 ( R 2 )   ?

Es ist eine gültige Wellenfunktion, aber Sie verlieren die Interpretation, dass sich ein Teilchen im Zustand a und das andere im Zustand b befindet. Sie haben nur zwei Teilchen in einem komplizierten Zustand.

Antworten (4)

Die Anforderung ist

(1) ψ ( X 1 , X 2 ) = { ψ ( X 2 , X 1 ) für Bosonen − ψ ( X 2 , X 1 ) für Fermionen .
Diese Eigenschaft wird vom Spin-Statistik-Theorem in der relativistischen Quantenfeldtheorie gefordert. Da die nicht-relativistische Quantenmechanik eine Annäherung an die relativistische Quantenfeldtheorie sein soll, setzen wir sie auch in der nicht-relativistischen QM durch. Ein Spezialfall von Gleichung (1) ist
(2) ψ ( X 1 , X 2 ) ≈ { F ( X 1 ) G ( X 2 ) + F ( X 2 ) G ( X 1 ) für Bosonen F ( X 1 ) G ( X 2 ) − F ( X 2 ) G ( X 1 ) für Fermionen ,
aber wie Lewis Millers Antwort sagte, ist dies nur ein Sonderfall. Die allgemeine Anforderung ist Gleichung (1).

Das in der Frage geschriebene Quadratwurzelbeispiel erfüllt die Anforderung (1) nicht.

Danke @Dan Yand für die Erwähnung dieses Theorems. Wenn wir nehmen A = ich , wäre Bedingung (1) nicht durch die Quadratwurzel-Wellenfunktion erfüllt?
@Mathophile-Mathochist Für eine komplexe Menge z , die Funktion z ↦ z ist zweiwertig, mit entgegengesetzten Vorzeichen. Wir können das Zeichen für einen Wert von wählen z , aber dann das Zeichen für andere Werte von z sollte durch Kontinuität bestimmt werden. Nehmen wir also an, wir beginnen mit z = 1 und wenden Sie eine kontinuierliche Drehung in der komplexen Ebene an, um dorthin zu gelangen z = − 1 , sagen z = exp ⁡ ( ich θ ) mit 0 ≤ θ ≤ π . Wenn wir wählen 1 = 1 , Dann exp ⁡ ( ich θ ) = exp ⁡ ( ich θ / 2 ) . Seit exp ⁡ ( ich π / 2 ) ≠ − 1 , zeigt dies, dass das Quadratwurzelbeispiel die Fermion-Vorzeichenänderungsanforderung nicht erfüllt.
Ich sehe, es macht Sinn.

Diese Produktform der Zwei-Teilchen-Wellenfunktion ist nur dann korrekt, wenn die Teilchen nicht wechselwirken. Trotzdem wird sie oft als erste Annäherung verwendet, und wenn Sie den Erwartungswert des wahren Hamilton-Operators nehmen und ihn minimieren (indem Sie eine Variationsableitung nehmen), erhalten Sie die Hartree-Fock-Gleichung mit zwei Körpern, die häufig zur Annäherung des Bodens verwendet wird Zustandsenergie und Wellenfunktion für Vielteilchensysteme von Fermionen. Diese Näherung wird oft als Mean-Field-Näherung bezeichnet.

Danke @Lewis Miller. Dies gilt zwar nur für nicht wechselwirkende Teilchen. Ich weiß nichts über die Hartree-Fock-Gleichung mit zwei Körpern. Ich bin mit der Variationsrechnung vertraut, daher würde ich es begrüßen, wenn Sie die Beziehung zwischen dieser Gleichung und OP erklären würden.

Sie vergessen, dass die Wellenfunktion auch die TISE erfüllen muss. Mit dieser Bedingung müssen die kombinierten Wellenfunktionen die Summe einer Permutation von Produkten sein.

Wenn wir zwei Teilchen haben, eines im Zustand ψ A und der andere im Staat ψ B , dann wäre der Zustandsvektor | ψ A ⟩ | ψ B ⟩ .

Wenn die Teilchen jedoch nicht unterscheidbar sind, ist es genauso wahrscheinlich, dass das Gegenteil der Fall ist (dh das "erste" Teilchen im Zustand ψ B und das "zweite" Teilchen im Zustand ψ A ). Daher möchten wir, dass der gesamte Zustand eine lineare Kombination dieser beiden Zustände mit jeweils gleichem Gewicht ist. Daher landen wir bei

| Ψ ⟩ = | ψ A ⟩ | ψ B ⟩ ± | ψ B ⟩ | ψ A ⟩

Wenn wir uns entscheiden, in der zu arbeiten | R 1 ⟩ | R 2 ⟩ Basis, dann landen wir bei dem Ausdruck, den Sie angeben.

Ich denke, das Problem mit Ihrem Zustand ist, dass es keine "schöne" lineare Kombination der Zustände ist, in denen sich ein Teilchen im Zustand befindet ψ A und der andere im Staat ψ B . Wir brauchen dies, wenn wir wollen, dass das Postulat das wann hält | ψ ⟩ = ∑ C ich | ψ N ⟩ , wir wissen, dass es eine Wahrscheinlichkeit von gibt | C ich | 2 um das System zu messen, um in Zustand zu sein | ψ ich ⟩

Die Wellenfunktion eines Systems aus zwei identischen Teilchen
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