Flugbahn eines Schwimmers, der versucht, das gegenüberliegende Ufer zu erreichen [geschlossen]

Question

Flugbahn eines Schwimmers, der versucht, das gegenüberliegende Ufer zu erreichen [geschlossen]

Abhishek Bakshi

Ich bin vor 2 Tagen auf folgende Frage gestoßen:

$Q$ . Ein Schwimmer schwimmt mit hoher Geschwindigkeit in einem Fluss $u$ in Bezug auf die Geschwindigkeit des Wassers, die ist $v$ . Es wird angenommen, dass der Fluss gerade parallele Ufer hat und die Wassergeschwindigkeit an allen Stellen gleich ist und eine Richtung parallel zu den Ufern hat. Angenommen, der Schwimmer beginnt an einem bestimmten Punkt zu schwimmen $A$ . Er steht immer vor einem Punkt $B$ am gegenüberliegenden Ufer. $B$ ist der Punkt, der direkt gegenüber liegt $A$ . Finden Sie die Flugbahn des Schwimmers. Die Breite des Flusses ist $w$ .

Ich habe diesen Punkt angenommen $A$ ist der Ursprung, dh $A\equiv (0,0)$ Und $B\equiv (0,w)$ . Nehmen wir an, der Schwimmer ist am Punkt $P\equiv (x,y)$ irgendwann. An diesem Punkt macht er einen Winkel $\theta$ mit der Horizontalen in Bezug auf Punkt $B$ . Deshalb $\cos\theta=\frac x{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}$ Und $\sin\theta=\frac {w-y}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}$ . Jetzt habe ich die folgenden zwei Gleichungen: -

\frac{D X}{D T} = v - u \cos θ = v - \frac{u X}{\sqrt{X^{2} + (w - j)^{2}}} A N D \frac{D j}{D T} = u Sünde θ = \frac{u (w - j)}{\sqrt{X^{2} + (w - j)^{2}}}

$\frac {dx}{dt}=v-u\cos\theta=v-\frac {ux}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}\quad and \quad\frac {dy}{dt}=u\sin\theta=\frac {u(w-y)}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}$ Wenn ich sie dividiere, bekomme ich diese Differentialgleichung: -

\frac{D j}{D X} = \frac{u (w - j)}{v \sqrt{X^{2} + (w - j)^{2}} - u X}

$\frac {dy}{dx}=\frac {u(w-y)}{v\sqrt{x^2+(w-y)^2}-ux}$ Wie löse ich diese Differentialgleichung? Gibt es eine Lösung, die bei solchen Fragen keinen Kalkül verwendet? Sie können auch die Tatsache verwenden, dass

\frac{D}{D T} (\sqrt{X^{2} + (w - j)^{2}}) = v \cos θ - u = \frac{v X}{\sqrt{X^{2} + (w - j)^{2}}} - u

$\frac d{dt}(\sqrt{x^2+(w-y)^2})=v\cos\theta-u=\frac {vx}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}-u$

frei

Falls er jemals den Punkt erreicht

B

$B$ , er müsste sich direkt darauf zubewegen

B

$B$ . Das bedeutet

{\vec{v}}_{swimming} + {\vec{u}}_{current} = {\vec{v}}_{towards B} + {\vec{u}}_{current} = k v_{towards B}

$\vec v_{\text{swimming}} + \vec u_{\text{current}} = \vec v_{\text{towards B}} + \vec u_{\text{current}} = k v_{\text{towards B}}$

Abhishek Bakshi

Ich habe nie gesagt, dass er den Punkt erreicht

B

$B$ , Ich sagte nur, dass er Gesichter

B

$B$ zu jedem zeitpunkt..

frei

Ich habe nie gesagt, dass das den Punkt erreicht

B

$B$ entweder ;) es gibt einen trivialen Fall, in dem er nicht gegen den Strom schwimmen kann und für immer flussabwärts treibt. Andernfalls nähert er sich

B

$B$ horizontal. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wo genau er auf die Bank trifft (wahrscheinlich eine unendlich kleine Entfernung von

B

$B$ )

Abhishek Bakshi

Dieser Fall ist für die Berechnung der Bahngleichung nicht anders ... wie auch immer ... Entschuldigung für das Missverständnis Ihres Kommentars ...

Antworten (1)

Flugbahn eines Schwimmers, der versucht, das gegenüberliegende Ufer zu erreichen [geschlossen]

Falls er jemals den Punkt erreicht $B$ , er müsste sich direkt darauf zubewegen $B$ . Das bedeutet $\vec v_{\text{swimming}} + \vec u_{\text{current}} = \vec v_{\text{towards B}} + \vec u_{\text{current}} = k v_{\text{towards B}}$
Ich habe nie gesagt, dass er den Punkt erreicht $B$ , Ich sagte nur, dass er Gesichter $B$ zu jedem zeitpunkt..
Ich habe nie gesagt, dass das den Punkt erreicht $B$ entweder ;) es gibt einen trivialen Fall, in dem er nicht gegen den Strom schwimmen kann und für immer flussabwärts treibt. Andernfalls nähert er sich $B$ horizontal. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wo genau er auf die Bank trifft (wahrscheinlich eine unendlich kleine Entfernung von $B$ )
Dieser Fall ist für die Berechnung der Bahngleichung nicht anders ... wie auch immer ... Entschuldigung für das Missverständnis Ihres Kommentars ...

frei · Answer 1

Lassen Sie mich annehmen, dass der Schwimmer an einem Punkt beginnt $I = (\omega, 0)$ und dass dein Ziel der Ursprung ist $F = (0,0)$ - Ich denke, einige der Gleichungen sind einfacher, wenn die Ausgangsposition und nicht die Zielposition im Ursprung liegt. In meinen Koordinaten ist das Flussufer in der $y$ -Richtung.

Der Fluss fließt mit Geschwindigkeit $v$ und die Geschwindigkeit des Schwimmers ist $u$ . Wir haben das

\begin{aligned} \dot{X} = & - u \cos θ \\ \dot{j} = & - u Sünde θ + v \end{aligned}

$\begin{align} \dot x =& -u\cos\theta\\ \dot y =& -u\sin\theta + v \end{align}$ Wir wollen schließlich

y (x)

$y(x)$ damit wir die Flugbahn des Schwimmers zeichnen können. Das können wir schreiben

\frac{D j}{D X} = \frac{\dot{j}}{\dot{X}} = bräunen θ - \frac{v}{u} \frac{1}{\cos θ} = \frac{j}{X} - \frac{v}{u} \sqrt{1 + {(\frac{j}{X})}^{2}}

$\frac{dy}{dx} = \frac{\dot y}{\dot x} = \tan\theta - \frac vu \frac1{\cos\theta} = \frac yx - \frac vu \sqrt{1 + \left(\frac yx\right)^2}$ Nun lass

p = \frac{y}{x}

$p = \frac yx$ so dass

\frac{d y}{d x} = p + x \frac{d p}{d x}

$\frac{dy}{dx} = p + x\frac{dp}{dx}$ . Wir finden

\begin{aligned} P + X \frac{D P}{D X} = & P - \frac{v}{u} \sqrt{1 + P^{2}} \\ - \frac{v}{u} \frac{D X}{X} = & \frac{D P}{\sqrt{1 + P^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} p + x\frac{dp}{dx} =& p - \frac vu \sqrt{1 + p^2}\\ - \frac vu \frac{dx}{x} =& \frac{dp}{\sqrt{1 + p^2}} \end{align}$ Sie können die RHS mit der Substitution integrieren

p = \tan θ

$p=\tan \theta$ .

\begin{aligned} \int \frac{D P}{\sqrt{1 + P^{2}}} & = \int \frac{{Sek}^{2} θ D θ}{Sek θ} \\ = \int Sek θ D θ \\ = \ln (Sek θ + bräunen θ) + C \\ = \ln (\sqrt{1 + P^{2}} + P) + C \end{aligned}

$\begin{align}\int {\frac{dp}{\sqrt{1 + p^2}}}&=\int {\sec^2 \theta d\theta \over \sec \theta}\\&=\int{\sec\theta d\theta}\\&=\ln(\sec\theta+\tan\theta)+C\\&=\ln(\sqrt{1+p^2}+p)+C\end{align}$ Somit

- \frac{v}{u} \ln X = \ln (\sqrt{1 + P^{2}} + P) + C

$- \frac vu \ln x = \ln(\sqrt{1 + p^2} + p) + C$ die Sie lösen können, um das zu finden

P = \frac{1}{2} [e^{C} X^{- v / u} - e^{- C} X^{v / u}]

$p = \frac12 \left[ e^C x^{-v/u} - e^{-C} x^{v/u}\right]$ Endlich kann man das finden

j = \frac{1}{2} [e^{C} X^{1 - v / u} - e^{- C} X^{1 + v / u}]

$y = \frac12 \left[ e^C x^{1-v/u} - e^{-C} x^{1+v/u}\right]$ Stellen Sie es jetzt auf Ihre Anfangsbedingung ein

y (ω) = 0

$y(\omega) = 0$ , können Sie lösen

C

$C$ und finde das,

j = \frac{ω}{2} [{(\frac{X}{ω})}^{1 - v / u} - {(\frac{X}{ω})}^{1 + v / u}]

$y = \frac\omega2 \left[ \left(\frac{x}{\omega}\right)^{1-v/u} - \left(\frac{x}{\omega}\right)^{1+v/u}\right]$

Wenn $v/u < 1$ , trifft der Schwimmer das Ziel aus einer Richtung parallel zum Flussufer, trifft das Ufer genau auf das Ziel und schwimmt direkt gegen die Strömung, wenn er das Ziel trifft. Je größer $v/u < 1$ , je weiter er flussabwärts reist, bevor er sein Ziel erreicht (obwohl dies auf begrenzt ist $\omega/2$ - Die längsten Pfade treffen ungefähr auf das Flussufer $\omega/2$ dann auf das Ziel zu bewegen). Wenn $v/u > 1$ , Dann $y(0)$ Divergenzen - die Strömung trägt Sie unendlich flussabwärts und erreicht asymptotisch die Uferlinie. Wenn $v/u=1$ , ich denke, Sie kommen am Flussufer an zu einer Rast $\omega/2$ stromabwärts von Ihrem Ziel.

Ich bezweifle, dass es Lösungen ohne Kalkül gibt, abgesehen von allgemeinen Überlegungen zur Flugbahn des Schwimmers in den drei oben genannten Fällen.

Schöne Antwort. Ich habe die Antwort bearbeitet, um die Integration von zu zeigen $\frac{dp}{\sqrt{1 + p^2}}$ durch Substitution $p=\tan \theta$ weil es verständlicher ist..
Es gibt einen viel einfacheren Weg, sowohl die Flugbahn als auch zu berechnen $y(0)$ (in Ihrem Koordinatensystem) in dem Fall wo $u=v$ :-)
"schwimmt direkt gegen den Strom, wenn er das Ziel trifft." Dies gilt nur, wenn v = u. Wenn sich v/u Null nähert, nähert sich der Winkel des Pfades am anderen Ufer 90 Grad.
@WhatRoughBeast Ich stimme nicht zu. Wenn $v=u$ , er trifft nie das Ziel, oder? Egal wie schnell er schwimmt, er nähert sich dem Ziel eigentlich immer horizontal (bei 0 Grad) – nur so kann die Summe seines Schwimmens zum Ziel und der Strömung auf das Ziel zeigen.
Du hast Recht, mein Böser. Aber deine Aussage ist auch nicht richtig. Der Grenzwert wird eine Funktion sowohl von v/u als auch von w sein.
dy/dx. Für ein ausreichend großes v / u (wie Sie darauf hingewiesen haben, ist dies kleiner als 1) nähert sich dy / dx Null, obwohl ich mir ziemlich sicher bin, dass dies asymptotisch geschieht. Bei kleineren Werten von v/u ist dy/dx jedoch größer als Null, wenn der Schwimmer das Ufer erreicht, und der Schwimmer schwimmt nicht direkt stromaufwärts. Tatsächlich wird dy/dx für keine endliche Zeit Null erreichen.
Für klein $x$ , $dy/dx \simeq (1-v/u)(y/x) \simeq (1-v/u) x^{-v/u} \to \infty$ als $x \to \infty$ für $v/u < 1$ . dh Sie nähern sich dem Ziel horizontal
Ich muss zugeben, dass mich meine eigenen Berechnungen überrascht haben - Sie haben Recht mit der Grenze, jedes v / u < 1 funktioniert, aber der Endwinkel ist immer sehr nahe an der Horizontalen. Eigentlich hätte ich das erkennen müssen - es ist eine Version des Verfolgungsproblems ohne Blei, und dies erzeugt am Abschluss willkürlich hohe Winkelgeschwindigkeiten. Und ich glaube, Sie verwechseln horizontal und vertikal. Wenn der Startpunkt (W,0) und der Endpunkt (0,0) ist, fließt der Fluss vertikal. Ein horizontaler Pfad verläuft also senkrecht zum Flussufer, und das hat mich aus der Fassung gebracht. dy/dx gleich unendlich ist eine vertikale Linie, keine horizontale.

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