Gibt es Regeln für den Umgang mit Selbstreferenz-„Paradoxien“ in der Logik?

Derselbe Effekt kann mit einem einzigen Satz erzielt werden: „Dieser Satz ist falsch“. Es ist als Lügnerparadoxon bekannt und geht auf den antiken Sophisten Epimenides zurück. Ihre zwei Sätze haben den Lügner einfach in zwei Teile geteilt. Es gibt jedoch keinen endlosen Rückschritt, er endet in einem Schritt. Wir akzeptieren beide Sätze als "Axiome", dh "wahr", aber der zweite Satz impliziert, dass der erste falsch ist, ein Widerspruch. Das Problem ist, dass es bei den üblichen Beweisen durch Widerspruch eine zugrunde liegende Prämisse gibt, die dazu führt und verworfen werden kann, aber hier scheint es keine solche zusätzliche Prämisse zu geben. Dies bedeutet, dass der Satz des Lügners oder Ihre beiden Sätze eine widersprüchliche „Theorie“ bilden: Eine Aussage und ihre Verneinung können beide aus ihnen abgeleitet werden. Nach dem logischen Gesetz der Explosion, dann lässt sich daraus ein beliebiger Satz ableiten, sie sind also uninteressant.

Solche selbstreferenziellen Paradoxien zu erkennen ist einfach genug, siehe zB Wen's Semantic Paradoxes as Equations . Ihre beiden Sätze können als Gleichungen x=y und y=¬x kodiert werden, was x=¬x impliziert, was den Liar-Satz x kodiert und "=" als "bezieht sich auf" und ¬ als "nicht" interpretiert. Die boolesche Variable x kann nur zwei Werte annehmen, 0 oder 1, und keiner passt. Eine Sammlung von Sätzen erzeugt ein Paradoxon, wenn das sie codierende Gleichungssystem keine Lösung hat. Die eigentliche Frage ist, wie "keine Lösung" zu interpretieren ist. Es gibt mehrere Ansätze, die alle umstritten sind, siehe Paradoxes of Self-Reference on SEP .

Eine Möglichkeit besteht darin, sie gar nicht zu interpretieren, sondern widersprüchliche Theorien syntaktisch ganz zu verbieten. Mathematische und logische Theorien unternehmen große Anstrengungen, um sicherzustellen, dass paradoxe "Ansammlungen von Sätzen" immer ein Syntaxfehler sind. Das ist es, was Beweise durch Widerspruch in ihnen funktionieren lässt. Nichts wie Liar kann zum Beispiel in der Sprache der Mengentheorie oder in Russells Principia ausgedrückt werden, das Problem wird dort aus der Existenz heraus definiert.

Ein anderer Ansatz besteht darin, zu erklären, dass es doch eine verborgene Prämisse im Lügner gibt. Wir gehen implizit davon aus, dass der Satz entweder wahr oder falsch ist, dass er einen Wahrheitswert hat. Die Gleichungsinterpretation zeigt uns, dass diese Annahme falsch ist, und wir müssen akzeptieren, dass einige Sätze keinen Wahrheitswert haben. Wir akzeptieren dies bereits in der natürlichen Sprache, "ähnlicher Mond langsam" ist nicht wahr oder falsch, es ist Kauderwelsch, und "Elektron ist eine grüne Würde" ist auch bedeutungslos, obwohl es grammatikalisch korrekt ist. Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, Kauderwelsch zu sein, und der Lügnersatz und seine Cousins ​​​​sind "logischer Kauderwelsch", immer noch weder wahr noch falsch.

Die populärste Version von Logik und Semantik, bei der einige syntaktisch korrekte Sätze keinen Wahrheitswert haben, wurde von Kripke entwickelt und heißt Wahrheitswert-Gap-Logik . Zusätzlich zu wahr und falsch führt es einen dritten Wahrheitswert ein: undefiniert. Eine solche Logik erzeugt jedoch viele technische Komplikationen bei der Bewertung der Wahrheitswerte zusammengesetzter Ausdrücke und bei deren Manipulation, sodass sie in der Mathematik oder in Anwendungen selten verwendet wird.

(1) Nicht „Sätze“, sondern nur Aussagen können wahr oder falsch sein. Maschinen können Sätze erzeugen, aber nur Sprecher können Aussagen machen, und eine Aussage zu machen bedeutet implizit, darum zu bitten, ihr Aufmerksamkeit zu schenken und ihr nicht ohne Angabe von Gründen zu widersprechen, was den Sprecher implizit dazu verpflichtet, keine andere Aussage zu machen was ihm explizit oder implizit widerspricht.

(2) Der Bezug des Wortes „dies“ in der Aussage „Diese Aussage ist falsch“ ist unbestimmt, so dass ein Gesprächspartner nicht zu der Annahme verpflichtet ist, dass der Sprecher die Aussage auf sich selbst beziehen will und daher berechtigt ist zu fragen "Welche Aussage meinst du?"

(3) Um seinem Gesprächspartner deutlich zu machen, auf welche Aussage „diese Aussage“ sich bezieht, müsste der Sprecher sagen: „Diese Aussage, – ‚Diese Aussage ist falsch‘, – ist falsch“, was sie aufhebend einklammert das logische Problem, weil der Sprecher nichts Paradoxes mehr behauptet, und da der eingeklammerte Satz von niemandem mehr als Aussage behauptet, sondern nur zitiert wird, haben wir keine Autorität des Sprechers, ihn als selbstbezüglich anzunehmen.

(4) Dasselbe Prinzip gilt auch in der anderen Version: "Die folgende Aussage ist falsch. Die vorherige Aussage ist wahr." Hier sind die Bezüge der Ausdrücke „das Folgende“ und „das Vorherige“ logisch unbestimmt, es kann also keine Gewissheit geben, dass sie sich aufeinander beziehen. Denn wenn diese Sätze aufgeschrieben werden, könnten andere Sätze eingefügt werden, was das logische Problem beseitigen würde.

(5) Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir, wenn wir nicht verpflichtet sind, eine Aussage als selbstbezüglich anzusehen, nicht verpflichtet sind, Probleme ernst zu nehmen, die sich daraus ergeben könnten.

Es gibt keine allgemeine Regel. Mein Lieblingsbeispiel ist, was passiert, wenn eine unwiderstehliche Kraft auf ein unbewegliches Objekt trifft?

Es ist tatsächlich eine Umkehrung und Rekapitulation von Aristoteles Definition von Kraft, und die ursprüngliche Definition ist in der Geschichte des Denkens weitaus wichtiger als die auffällige Umformulierung oben.

Tatsächlich kann man eine Linie zwischen der Definition von Aristoteles zu Newtons und dann zu Einsteins ziehen; während die paradoxe Aussage nur als isoliertes Gedankenfragment dasteht, verdreht in gedankenfangende und gedankenbedrohliche, paradoxe Begriffe, die nichts von irgendeiner Substanz erreichen.