Wenn die Annahme, dass eine Aussage falsch ist, zu einem Paradoxon führt, beweist dies dann, dass die Aussage wahr ist?

Wenn die Annahme, dass eine Aussage falsch ist, zu einem Paradoxon führt, beweist dies dann, dass die Aussage wahr ist?

Lassen Sie mich versuchen, etwas genauer zu werden:

Angenommen, Sie haben einen Vorschlag. Nehmen Sie außerdem an, dass die Annahme, dass die Aussage falsch ist, zu einem Paradoxon führt. Bedeutet dies, dass die Behauptung wahr ist? Mit anderen Worten, kann ich den „Widerspruch“ in „Beweis durch Widerspruch“ durch „Paradoxon“ ersetzen?

Diese Frage mag noch etwas zweideutig sein; Ich möchte hier nur ungern versuchen, „Paradoxon“ genau zu definieren. Betrachten Sie als (etwas lockeres) Beispiel jedoch einen Satz, dessen Negation beispielsweise zu Russells Paradoxon führt. Würde dies beweisen, dass die Behauptung wahr ist?

Bearbeiten : Definieren Sie Paradoxon wie folgt: Eine Situation ist genau dann ein Paradoxon, wenn sie eine logische Inkonsistenz aufweist, die irgendwie "äquivalent" zu der in Russells Paradoxon dargestellten ist.

Wenn Sie nicht definieren oder zumindest festlegen wollen, was Sie mit Paradoxon meinen, wie können Sie dann gute Antworten erwarten?
Wenn Sie Paradoxon nicht definieren, ist es nicht möglich, eine vernünftige Antwort zu geben. Meinst du Paradoxon wie in logischem Widerspruch, P und Nicht-P? Oder paradox wie ein kontraintuitives Ergebnis, wie das Banach-Tarski-Paradoxon?
Und warum die Negation einer Requisite? Kannst du nicht -P durch -(-P) ersetzen und einfach einen Satz sagen, der zu einem Paradoxon führt? Können Sie eine klarere Frage formulieren?
@ user4894: Ich stimme zu, dass diese Frage etwas mehrdeutig ist. Offensichtlich meine ich jedoch nicht "Paradoxon" wie in einem kontraintuitiven Ergebnis - die Frage wäre leer, wenn ich es täte - sondern eher eine Form von logischer Inkonsistenz. Ich nenne Russells Paradoxon ein „Paradoxon“, weil es logisch widersprüchlich ist, ob ein Objekt Element einer Menge ist oder nicht.
@ user9151 Russells Paradoxon zeigt, dass das Zulassen einer uneingeschränkten Satzbildung zu einem Widerspruch führt; daher müssen wir die uneingeschränkte Mengenbildung ablehnen. Gegen den Widerspruchsbeweis wehren Sie sich sicher nicht. Ich verstehe Ihren Punkt nicht. Oder versuchen Sie, Beweis durch Widerspruch zu verstehen?
Dies wird Beweis durch Widerspruch genannt, und ja, es ist weithin als Beweismethode akzeptiert.

Antworten (4)

Nein, denn die Aussage, die wahr ist, könnte auch zu einem Paradoxon führen:

A: „ Dieser Satz ist falsch. “

Wenn Sie annehmen, dass A falsch ist, dann ist A wahr, und wir haben ein Paradoxon.

Aber das beweist nicht, dass A wahr ist, denn wenn A wahr ist, dann ist A falsch, und wir haben auch ein Paradoxon.

Die klassische Logik umfasst drei Gesetze. Sie sind :

  1. Das Gesetz der Identität (was auch immer ist, ist) (mit anderen Worten, x = x)
  2. Das Gesetz des Widerspruchs (nichts kann sein und nicht sein)
  3. Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (alles muss entweder sein oder nicht sein)

Die Gültigkeit der von Ihnen skizzierten Beweismethode ergibt sich aus einer Kombination des zweiten und des dritten Hauptsatzes. Die Methode wird als "Widerspruchsbeweis" oder "Reduction ad absurdum-Methode" bezeichnet. Diese Methode ist eine gültige Beweismethode für jede Anwendung der klassischen Logik - insbesondere der Mainstream-Mathematik.

Im Kontext eines mathematischen Beweises ist der Begriff Paradox gleichbedeutend mit Widerspruch . Das heißt, eine Aussage der Form „ P und nicht P “.

Hier ist ein Überblick über die Widerspruchsbeweismethode, wie sie zum Beweis einer Aussage A angewendet wird :

  • Angenommen , nicht A .
  • Zeigen Sie, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt, zB B und nicht B .
  • Dies verstößt gegen Gesetz 2, also wissen wir, dass unsere Annahme nicht A nicht wahr sein kann (da sie notwendigerweise zu einem Widerspruch führt).
  • Schließlich gilt nach Gesetz 3: Wenn A nicht wahr sein kann, dann muss A wahr sein.

Offensichtlich erfordert die Gültigkeit dieser Methode, dass Sie die Gültigkeit der genannten drei Denkgesetze akzeptieren. Menschen, die Logik studieren, betrachten auch logische Systeme, in denen die Gesetze 2 und 3 nicht enthalten sind. Einige mögen sogar Gesetz 1 ablehnen, obwohl man sich nur fragen kann, warum.

Das Gegenteil ist wahr, dh: "Wenn die Annahme, dass eine Prämisse wahr ist, zu einem Paradoxon führt, zeigt dies, dass die Prämisse nicht wahr ist."

Es gibt mathematische Beweise, die so funktionieren: Wikipedia nennt es Beweis durch Widerspruch .

Zum Beispiel: „Wie können wir beweisen, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist? Nun, nehmen Sie an, dass sie rational ist. Dann (siehe Pythagorean Theorem Proof , der zeigt, dass, wenn sie rational ist, ein Paradoxon existiert). Daher (um das Paradoxon zu vermeiden ) die Prämisse (dass es rational ist) kann nicht wahr sein: also QED"

In der Logik erster Ordnung können Sie „p impliziert q“ als „q oder nicht p“ definieren, dann bedeutet „p impliziert nicht p“ „nicht p oder nicht p“, was „nicht p“ bedeutet. Dies reduziert Paradoxon auf Widerspruch.

Aber es passt nicht gut zur gewöhnlichen Interpretation von selbstreferenziellen Aussagen. Es gibt also die rekursive Funktionstheorie, die Sätze als Variablen zulässt. In dieser Form der Logik muss p selbst die Form einer Funktion annehmen, die in unendliche Rekursion gerät, wenn p ein Paradoxon ist.

Sie können also nicht unbedingt die einfache Art von reductio-ad-absurdum durchführen, wenn Ihre Annahme Selbstreferenz beinhaltet. In einer flexibleren Mathematik bleiben das kretische Paradoxon und auch das von Russel eher undefiniert als falsch.

Wenn die Annahme, dass eine Aussage falsch ist, zu einem Paradoxon führt, beweist dies dann, dass die Aussage wahr ist?
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