Grundlegende Interpretation der Zusammensetzung von Observablen und ihrer Messung

Nehmen$C=A_1A_2....A_n$, tritt das Problem auf, weil der Eigenvektor-Unterraum einem Eigenwert von entspricht$C$entspricht nicht den Eigenvektorunterräumen, die einem Eigenwert von entsprechen$A_i$

Um das zu sehen, nehmen wir ein Beispiel mit$C=A_1A_2$, mit$A_1 = \sigma_x \otimes Id, A_2 = Id \otimes\sigma_x$. So$C= \sigma_x \otimes\sigma_x$Wir haben folgendes Array:

Die erste Spalte besteht aus den gemeinsamen Eingenvektoren und die anderen Spalten entsprechen den Eigenwerten ($\pm$bedeutet$\pm1$).

Der dem Eigenwert entsprechende Unterraum$+1$von$\sigma_x \otimes\sigma_x$Ist$2-$dimensional und entspricht dem ersten und letzten Eigenvektor.

Wenn wir nun den ersten und den letzten Eigenvektor addieren, erhalten wir den Zustand$|00\rangle+|11\rangle$, und weil der erste und der letzte Eigenvektor den gleichen Eigenwert haben$+1$für$\sigma_x \otimes\sigma_x$, Dann$|00\rangle+|11\rangle$ist auch ein Eigenvektor mit Eigenwert$+1$für$\sigma_x \otimes\sigma_x$.

Das Problem ist jedoch, dass der erste und der letzte Eigenvektor nicht denselben Eigenwert für haben$\sigma_x \otimes Id$Und$Id\otimes\sigma_x$, also jede Kombination davon$2$Eigenvektoren können kein Eigenvektor für sein$\sigma_x \otimes Id$Und$Id\otimes\sigma_x$. Und das ist in der Tat der Fall für$|00\rangle+|11\rangle$

Erstens denke ich, dass ich meine Frage nicht klar genug formuliert habe: Ich kenne die Mathematik hinter kommutierenden Observablen und ihren Eigenwerten, aber ich wollte wissen, was in einem echten physikalischen Experiment passiert. Ich wollte wissen, ob es einen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten gibt$\lambda$eines präparierten Eigenzustands$\psi$von$C=A_1 \ldots A_n$und die Einzelergebnisse$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$der Messungen von$A_1, \ldots, A_n$. Die Situation ist klar, wenn$\psi$ein gemeinsamer Eigenvektor von ist$A_1, \ldots, A_n$aber es war mir nicht klar, was passiert, wenn$\psi$KEIN gemeinsamer Eigenvektor ist.

Trimoks Antwort beantwortete meine Frage nicht direkt, aber sein/ihr Beispiel gab mir einen wichtigen Einblick, der mir half, dies herauszufinden.

Eines meiner Missverständnisse war die Idee, dass ein Eigenzustand$|\psi\rangle$von$C=A_1 \ldots A_n$ändert sich während einer Messung nicht$C$Wegen der mathematischen Beziehung$C|\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle$. Aber das ist nicht unbedingt wahr. Zum Beispiel der Staat$|00\rangle + |11\rangle$Änderungen während der Messung von$\sigma_x \otimes \sigma_x$: jeder Beobachter wird entweder bekommen$|0\rangle$oder$|1\rangle$so wird der Zustand nach der Messung sein$|00\rangle$oder$|11\rangle$Obwohl$|00\rangle + |11\rangle$ist ein Eigenzustand von$\sigma_x \otimes \sigma_x$zum Eigenwert$+1$.

Ich denke, der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Eigenwerten ist wie folgt. Lassen$|\psi\rangle$ein Eigenzustand von sein$C = A_1 \ldots A_n$zum Eigenwert$\lambda$, muss aber nicht unbedingt ein gemeinsamer Eigenvektor der Observablen sein$A_1, \ldots, A_n$. Allgemein,$|\psi\rangle$kann als Linearkombination gemeinsamer Eigenvektoren ausgedrückt werden:

Was passiert nun, wenn die Observables$A_1, \ldots, A_n$werden separat gemessen (bzgl$|\psi\rangle)$? Jede Messung verkleinert den Unterraum, in dem der gemessene Zustand lebt: Die Messung von$A_1$wird den Staat zwingen$|\psi\rangle$sich in einen Zustand verwandeln$|\beta_1\rangle$Wo$\beta_1$ist ein Eigenwert von$A_1$. Aber es kann immer noch als Linearkombination gemeinsamer Eigenvektoren von ausgedrückt werden$A_2, \ldots, A_n$. Dann die Messung von$A_2$ändert den Zustand in$|\beta_1, \beta_2\rangle$usw. Nach der Messung von$A_n$Wir haben einen gemeinsamen Eigenzustand$|\beta_1, \ldots, \beta_n\rangle$Und$\beta_1 \cdots \beta_n = \lambda$Weil$|\psi\rangle$war ursprünglich eine Linearkombination gemeinsamer Eigenvektoren, die diese Gleichung erfüllen.

Also die Aussage „Das Produkt der Einzelergebnisse ist gleich dem Eigenwert$\lambda$des Eigenzustands$|\psi\rangle$von$C$„Gilt immer noch in dem Fall, wann$|\psi\rangle$kein gemeinsamer Eigenvektor ist. Dieses intuitive Ergebnis wird nun durch ein korrektes Argument untermauert.

Nur als interessante Randnotiz: When an observable$C$ist eine Zusammensetzung anderer Observablen, z$C=A\circ B$dann heißt das nicht, dass man messen muss$B$Und$A$nacheinander, um zu messen$C$.$C$kann eine einzelne Messung darstellen. Nehmen wir zum Beispiel$A=\sigma_x \otimes \sigma_y$Und$B=\sigma_y \otimes \sigma_x$, Dann$C = (\sigma_x \otimes \sigma_y) \circ (\sigma_y \otimes \sigma_x) = \sigma_z \otimes \sigma_z$. So$C$können unterschiedliche Versuchsaufbauten darstellen: entweder eine aufeinanderfolgende Messung von$B$Und$A$oder eine einzelne Messung von zwei Qubits entlang der z-Achse. (Ich bin neu hier und weiß nicht, ob solche Bemerkungen hier willkommen sind oder als störend empfunden werden. Ich entferne sie, wenn jemand möchte.)