Impliziert Dilatations-/Skaleninvarianz konforme Invarianz?

Warum muss eine Quantenfeldtheorie, die unter Dehnungen invariant ist, fast immer auch unter echten konformen Transformationen invariant sein? Zu zeigen, dass Ihre bevorzugte dilatationsinvariante Theorie auch unter korrekten konformen Transformationen invariant ist, ist selten einfach. Teilweise Integration, Einführung von Weyl-Verbindungen und so weiter und so weiter sind notwendig, aber am Ende des Tages ist es fast immer machbar. Warum ist das so?

Sie können nach Polchinskis Artikel „Scale and Conformal Invariance in QFT“ suchen, der das Thema ausführlich behandelt. Vielleicht hat es seitdem einige Entwicklungen gegeben, aber das ist ein guter Ausgangspunkt.
Für die 4d-Feldtheorie ist es immer noch eine offene Frage, ob Skaleninvarianz konforme Invarianz impliziert. Zu diesem Thema gibt es einige neuere Arbeiten von Slava Rychkov und Mitarbeitern, siehe z. B. 1101.5385.
Übrigens, da Skaleninvarianz keine konforme Invarianz impliziert, kann die Frage vielleicht umformuliert werden.
Ich möchte auf eine Rezension von Yu Nakayama hinweisen, die unter arxiv.org/abs/1302.0884 verfügbar ist

Antworten (3)

Wie in früheren Antworten kommentiert, impliziert konforme Invarianz Skaleninvarianz, aber das Gegenteil gilt im Allgemeinen nicht. In der Tat können Sie sich Scale Vs ansehen. Konforme Invarianz in der AdS/CFT-Korrespondenz . In diesem Artikel konstruieren die Autoren ausdrücklich zwei nicht triviale Feldtheorien, die skaleninvariant, aber nicht konform invariant sind. Sie fahren fort, indem sie mithilfe der AdS/CFT-Korrespondenz einige konforme Feldtheorien im flachen Raum auf gekrümmte Hintergründe platzieren.

Danke dafür, irgendwie habe ich das übersehen, es ist wirklich interessant.
Ich wusste von diesem Papier, aber als ich diese Frage las, kam es mir wieder in den Sinn (zum Glück, weil es sehr interessant ist)

Ein schöner Artikel dazu: Tutorial on Scale and Conformal Symmetries in Diverse Dimensions .

Die Faustregel lautet „konform ⇒ Skala“, aber das Gegenteil ist nicht unbedingt wahr (einige Bedingungen müssen erfüllt sein) – aber dies variiert natürlich mit der Dimensionalität des Problems, mit dem Sie es zu tun haben .

PS: Polchinskis Artikel: Skala und konforme Invarianz in der Quantenfeldtheorie .

Es ist keine Faustregel, dass konform Skalierung bedeutet, es ist einfach eine Tatsache. Die Bedingungen sind hauptsächlich Lokalität und niedrige Ordnung von Ableitungen, was manchmal durch Unitarität und Renormierbarkeit auferlegt wird.
@RonMaimon: Konforme Invarianz erfordert Skaleninvarianz in einer Poincare-Invariantentheorie, einfach wegen des Kommutators [ K μ , P v ] = 2 ich ( η μ v D − M μ v ) . Die Notation sollte offensichtlich sein.
@AndyS: Die bloße Existenz von D in der konformen Gruppe reicht aus, um zu zeigen, dass konforme Skalierung impliziert --- es ist keine Faustregel, es ist eine offensichtliche Implikation, das wollte der obige Kommentar sagen. Sie brauchen das Kommutator-Geschäft nicht, um dies zu zeigen, die Dilatation ist eine konforme Transformation für sich.
@RonMaimon: Was du sagst, ist nicht wahr; Sie brauchen den Kommutator, um zu beweisen, was Sie "eine offensichtliche Implikation" nennen. Außerdem gibt es eine klare Unterscheidung zwischen Dilatationen und speziellen konformen Transformationen.
@AndyS: Was ich sage, ist wahr, und du sagst Unsinn. Dilatationen sind zur konformen Invarianz wie Drehungen um die z-Achse zu Drehungen. Sie sind ein Sonderfall. Wenn Sie eine Rotationsinvarianz haben, haben Sie eine Rotationsinvarianz um die z-Achse. Wenn Sie eine konforme Invarianz haben, haben Sie eine Dilatationsinvarianz. Dies ist kein strittiger Punkt, es ist kein schwieriger Punkt, und ich weiß nicht, warum Sie den obigen Kommentar abgeben.
@RonMaimon: Es ist sinnlos, diese Diskussion fortzusetzen. Nur damit Sie es wissen, eine Dilatation ist eine Neuskalierung der Koordinaten, x μ → λ x μ , während eine spezielle konforme Transformation eine Inversion ist, gefolgt von einer Translation, gefolgt von einer weiteren Inversion, x μ → x μ + b μ x 2 1 − 2 b ⋅ x + b 2 x 2 . Der globale Vektor b μ kann nicht gewählt werden, um eine Dilatation vorzutäuschen. (Wenn Sie es einem Einheimischen erlauben b μ , dann ist es möglich, eine Dilatation durch eine lokale konforme Transformation zu erzeugen, genauso wie es möglich ist, eine Drehung durch eine lokale Translation zu erzeugen.)
@AndyS: Ich weiß, was eine spezielle konforme Transformation ist, und die Dilatationsgruppe ist eine Untergruppe der vollständigen konformen Gruppe. Die speziellen winkeltreuen Transformationen schließen sich nicht von selbst zu einer Gruppe zusammen und bilden zusammen mit Drehungen und Dehnungen eine Gruppe. Die Dilatationsuntergruppe ist ein Sonderfall der vollständig konformen Gruppe, und es macht keinen Sinn zu sagen, dass Sie eine konforme Theorie ohne Dilatationsinvarianz haben, es ist so, als würden Sie sagen, dass Sie eine rotationsinvariante Theorie haben, die gegenüber Drehungen um die z-Achse nicht invariant ist.
@RonMaimon: Die Frage, die ich beantworte, lautet: "Warum ist eine Theorie, die unter speziellen konformen Transformationen invariant ist, auch unter Dilatationen automatisch invariant?" Dies unterscheidet sich stark von der schwachsinnigen Frage: "Warum ist eine konforme Theorie invariant unter Dilatationen?".
@AndyS: Ich verstehe. Dann stimme ich zu. Aber für mich scheint dies rückwärts zu sein, da konforme Symmetrie lokale Dilatationssymmetrie ist, daher ist Dilatationsinvarianz eine primitivere Idee und wird im Voraus angenommen, bevor Sie konforme Invarianz zeigen. Aber das ist nur ein Standpunkt.

Vielleicht tut es das:
Übersetzung: P μ = − ich ∂ μ Drehung: M μ v = ich ( x μ ∂ v − x v ∂ μ ) Erweiterung: D = ich x μ ∂ μ Speziell konform: C μ = − ich ( x → ⋅ x → − 2 x μ x → ⋅ ∂ )

Dann ergibt die Vertauschungsrelation:
[ D , C μ ] = − ich C μ
so C μ fungiert als Hebe- und Senkoperator für die Eigenvektoren des Dilatationsoperators D . Das heißt, angenommen:
D | d ⟩ = d | d ⟩
Durch die Kommutierungsrelation:
D C μ − C μ D = − ich C μ
so
D C μ | d ⟩ = ( C μ D − ich C μ ) | d ⟩
und
D ( C μ | d ⟩ ) = ( d − ich ) ( C μ | d ⟩ )

Aber angesichts der dilationalen Eigenvektoren ist es möglich, die Hebe- und Senkoperatoren allein aus ihnen zu definieren. Und das definiert die C μ .

PS Ich habe das abgeschrieben von:

http://web.mit.edu/~mcgreevy/www/fall08/handouts/lecture09.pdf

Nehmen wir an, Sie haben Mr. McGreevy zitiert .
Das Problem ist, dass es einfach nicht stimmt, dass Skaleninvarianz eine konforme Invarianz impliziert. Das einfachste Gegenbeispiel ist eine selbstinteragierende Levy-Feldtheorie.
Was ist das | d ⟩ beziehen Sie sich auf? Sind es Felder? Und tut d entsprechen der Skalierungsdimension des Feldes? Ich weiß, dass dies ein alter Thread ist, daher würde ich mich über Kommentare von jedem freuen.
Impliziert Dilatations-/Skaleninvarianz konforme Invarianz?
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