Intuitive Erklärung, warum Umlaufbahnen geschlossen sind?

Gestern hat mich mein Bruder gefragt, wie Orbits funktionieren. Angenommen, um der Frage willen, Sie versuchen, eine Rakete in eine Umlaufbahn um die Erde zu bringen. Ich habe erklärt, dass das Orbitieren im Wesentlichen darin besteht, sich im freien Fall zu befinden, während man sehr schnell seitwärts geht, sodass es zu dem Zeitpunkt, an dem man fällt, keinen Boden mehr gibt und man weitergeht.

Er sagte, er verstehe das. Seine Frage war, warum man nach einer vollen Umdrehung um die Erde mit der gleichen Geschwindigkeit am selben Ort landet, anstatt beispielsweise eine Einwärtsspirale zu machen. Ich gebe zu, dass mich das verblüfft hat. Offensichtlich hindert Sie die Erhaltung des Drehimpulses daran, sich spiralförmig zum Zentrum zu drehen, aber ich sehe keinen Grund, warum Sie zumindest im Prinzip keine Spiralbahn mit einer Amplitude haben könnten, die periodisch zunimmt und abnimmt.

Gibt es dafür eine Erklärung, die nicht mit dem Rechnen einhergeht? Natürlich sagen die Gleichungen, dass das nicht passiert, aber das hilft mir nicht, es besser zu verstehen, und es hilft mir auch nicht, es meinem Bruder zu erklären.

Antworten (2)

Das liegt daran, dass die Gravitationskraft proportional zu ist 1 / r 2 .

Als Gegenbeispiel: Wenn Sie sich die Umlaufbahn des Quecksilbers genau ansehen, kommt es nach 1 Umdrehung tatsächlich nicht genau mit derselben Geschwindigkeit zum selben Punkt zurück. Stattdessen dreht sich die Hauptachse der Umlaufbahn ein wenig (etwa 0,15 ° pro Jahrhundert), hauptsächlich aufgrund der zusätzlichen Kraft von anderen Planeten (die offensichtlich nicht proportional zu 1 / r 2 ).

Ähnlich, wenn Sie sich eine Kraft vorstellen (in Richtung eines festen Punktes), die proportional zu ist 1 / r a mit a ≠ 2 , würden Sie eine ähnliche "Umlaufbahn" erhalten.

Ich glaube jedoch nicht, dass ich es ohne etwas Mathematik weiter erklären könnte.

Für alle, die sich für Mathematik interessieren, heißt dies "Theorem von Bertrand" en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem
@Nicolas, warum führt ein 1 / r ^ 2-Gesetz intuitiv zu einer geschlossenen Umlaufbahn?
@Jonas, ich kannte diesen Namen nicht, danke!
@Chris, das ist es, was ich nicht intuitiv erklären kann

Bereits 1609 stellte Kepler Keplers Gesetze der Planetenbewegung vor. Es besagt im Grunde, dass alle Umlaufbahnen eine Ellipse sind (leicht revidiert zu einer rotierenden Ellipse, die durch Präzession verursacht wird, wie von Nicolas bemerkt). In einem intuitiven Sinne vielleicht das: Wenn der Planet oder Komet weit von der Sonne entfernt ist, verlangsamt er sich langsam und beginnt, auf die Sonne zuzufallen. Wenn sich der Planet oder Komet der Sonne nähert, wird er schnell schneller und schießt weiter von der Sonne weg. Der Vorgang, näher an die Sonne zu fallen, beschleunigt den Planeten oder Kometen, daher kann er sich nicht in die Sonne drehen, es sei denn, es gibt etwas anderes (eine Art Widerstand, Reibung oder Aufprall), das ihn verlangsamt.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Tatsache, dass der Komet, wenn er sich der Sonne nähert, an Geschwindigkeit gewinnt und sich entfernt, ist klar. Aber ich sehe keinen klaren Grund, warum es genau an denselben Ort zurückkehren muss, von dem es kam, und mit derselben Geschwindigkeit. Mit anderen Worten, wenn ich die Gleichungen nicht gelöst hätte, könnte ich sagen, dass der Komet im Prinzip in eine andere Richtung schießen könnte als die, in der er hereingekommen ist, und dann zurückgehen und den Vorgang wiederholen könnte, so würde seine Umlaufbahn sein eine Art Blume, wenn man so will. Kann ich irgendwie erklären, warum das einem 16-Jährigen nicht passiert?
@ Javier Nadia, vorausgesetzt, die Schwerkraft wäre nicht relativistisch und nur zwei punktartige Körper ziehen sich aufgrund der Schwerkraft gegenseitig an. In diesem Fall können Sie sagen, dass sie sich nach einer Umlaufbahn an genau derselben Position befinden würden wie zuvor (unter der Annahme, dass sich Ihr Referenzrahmen nicht relativ zum Massenmittelpunkt der beiden bewegt). Sie können dies mit der Tatsache erklären, dass die Schwerkraft eine konservative Kraft ist, sodass das Zurückgehen in der Zeit dem gleichen Weg folgt wie das Vorwärtsgehen, nur in umgekehrter Richtung.
@fibonatic, selbst wenn Sie postulieren, dass eine Zeitreise denselben Weg zurückverfolgen wird, woher wissen Sie, dass es nicht 3 oder 4 Umläufe dauert, bis es seine ursprüngliche Startposition erreicht? Warum erreicht es seine Ausgangsposition nach genau 1 Umlauf?
@JavierBadia, wegen der Symmetrie des Problems. Da es in einer stabilen Umlaufbahn immer zwei (oder unendliche bei Kreisbewegungen) Situationen gibt, in denen die radialen Geschwindigkeiten relativ zu ihrem Massenmittelpunkt beider Objekte Null sind, ist die Bewegung vollständig tangential.
Die Blume ist genau das, was Sie mit der Umlaufbahn des Merkur sehen. Es hat Einstein gedauert, um es zu erklären, und diese Blume hat viele Blütenblätter. Wenn Sie das Gravitationsfeld erhöhen, erhalten Sie so viele oder so wenige Blütenblätter, wie Sie möchten. Ein großartiger Artikel und ein Bild (ganz unten) sind auf mathpages.com zu finden .
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