Ist das Konzept des Tensorrangs in der Physik nützlich?

Ich kann leicht ein Beispiel für ein glattes Tensorfeld über einer Mannigfaltigkeit konstruieren, deren "Rang" sich je nach Punkt ändert. Meine Idee beruht auf dem folgenden elementaren Satz.

Ich betone, dass der hier verwendete Begriff "Rang" der in der ursprünglichen Frage eingeführte und nicht der Standard ist.

Vorschlag . Betrachten Sie a$n$-dimensionaler reeller Vektorraum$V$und lass$e_1,e_2 \in V$ein Paar linear unabhängiger Vektoren sein. Der „verschränkte“ Tensor

$$e_1\otimes e_1 + k e_2 \otimes e_2$$ ist von "Rang"$2$unbedingt wenn$k\neq 0$, ansonsten hat es den "Rang" 1.

NACHWEISEN. Seit$e_1$und$e_2$linear unabhängig sind, gibt es eine Basis$\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$von$V$beide enthalten. Davon ausgehen$k\neq 0$. Wenn der Tensor Rang 1 hätte, also

$$e_1\otimes e_1 + k e_2 \otimes e_2= u\otimes v\quad (1)$$ wie wir haben $u= \sum_i u^i e_i$und $v= \sum_j v^je_j$, (1) würde bedeuten: $$e_1\otimes e_1 + k e_2 \otimes e_2= \sum_{i,j=1}^nu^iv^j e_i\otimes e_j\quad$$ und so: $$0= (u^1v^1-1) e_1\otimes e_1 + (u^2v^2-k) e_2\otimes e_2 + u^1v^2 e_1\otimes e_2 + u^2v^1 e_2\otimes e_1 + \sum_{i,j >2} u^iv^j e_i\otimes e_j\qquad (2)$$ Da wiederum $\{e_i\otimes e_j\}_{i,j=1,\ldots,n}$ist eine Basis des Tensorraums $V \otimes V$, (2) impliziert insbesondere, dass: $$u^1v^1= 1\:, \:\:u^2v^2= k\:,\:\: u^1v^2=u^2v^1=0$$ Wenn wir die ersten beiden Bedingungen miteinander multiplizieren, haben wir: $$u^1v^1u^2v^2 = k$$ während die restlichen beinhalten: $$u^1v^2u^2v^1 = 0$$ die im Widerspruch stehen, es sei denn $k=0$. QED

Betrachten Sie also eine glatte (Hausdorff-) Mannigfaltigkeit der Dimension$n$und eine reibungslose Funktion$\chi: M \to \mathbb R$die ständig den Wert erreicht$1$in einer offenen Menge$U\subset M$und verschwindet glatt, bevor es die Grenze einer anderen offenen Menge erreicht$U' \supset U$. Nehmen$U$und$U'$klein genug, davon können wir immer ausgehen$U'$ist mit lokalen Koordinaten ausgestattet$x^1,\ldots, x^n$. Definieren Sie unter diesen Hypothesen das glatte Tensorfeld$\Xi$an$M$, nach draußen verschwinden$U'$:

$$\Xi(p) := \chi(p)\left(\frac{\partial}{\partial x^1}|_p \otimes \frac{\partial}{\partial x^1}|_p + k(p) \frac{\partial}{\partial x^2}|_p \otimes \frac{\partial}{\partial x^2}|_p\right)$$

wo$k: M \to \mathbb R$ist eine glatte Funktion, die irgendwo darin verschwindet$U$aber nicht überall.

Das Tensorfeld$\Xi$ist glatt , gut definiert über das Ganze $M$, aber es ändert seinen "Rang" dreimal:$0$außen$U'$,$1$und$2$Innerhalb$U$, je nach Auswahl$k$.

Obwohl dieses Beispiel vollständig mathematisch ist, denke ich, dass mit etwas weiterer Ausarbeitung meinem Beispiel eine gewisse physikalische Bedeutung gegeben werden könnte, zumindest wenn das Koordinatensystem in der gesamten Dimensionsvielfalt definiert ist$4$und Lorentzian. Der Tensor ist symmetrisch und das können wir annehmen$x^1$ist eine zeitliche Minkowski-Koordinate, so dass$\partial_{x^1}$könnte das Ruhesystem eines kontinuierlichen Körpers definieren und$\Xi$sein Spannungsenergietensor. Unter der Annahme, dass dieses System mit einem externen System interagiert, ist sogar die Erhaltung niedrig$\nabla_a\Xi^{ab}= J_{ext}^b$kann auferlegt werden, um eine nicht konstante Funktion zu haben$k$.

Wie Emilio Pisanty in einem Kommentar zur Antwort von Joshphysics betonte, bedeutet "der Rang eines Tensors" in der Physikliteratur etwas anderes als in dem von Ihnen verlinkten netten Artikel von Benjamin Weitz. Allerdings auch dieser Typ von "Tensor-Rang" erscheint - auf einer gewissen Ebene - in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Betrachtet man die berühmte Petrov-Klassifikation des Weyl-Tensors, so kann man (nach kurzer Rechnung) feststellen: Für die Fälle, in denen der Eigenwert der Eigenbivektoren des Weyl-Tensors entartet ist, wird der Tensorrang des Weyl-Tensors reduziert. (Beachten Sie jedoch, dass die Petrov-Klassifikation viel mehr – und viel feiner – ist als nur eine „Tensor-Rang“-Klassifikation des Weyl-Tensors.)

Außerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie wurden solche Ränge auch in der Quanteninformationstheorie verwendet. Für reine Zustände eines zweiteiligen Quantensystems ist der "Schmidt-Rang" genau so ein Tensor-Rang, den Sie wollen. Ein ähnlicher Begriff wurde auch auf gemischte Zustände oder Dichtematrizen verallgemeinert, wo man eine "Schmidt-Zahl" definiert, siehe diesen Link .

Am besten, z

Bearbeiten. Wie EmilioPisanty unten betont, ist meine Antwort irrelevant, weil ich falsch verstanden habe, auf welchen Rangbegriff sich das OP bezog.

Ja, der Tensorrang ist ein nützliches Konzept in der Physik.

Es ist beispielsweise nützlich, um verschiedene Krümmungstensoren zu unterscheiden. Der Riemann-Tensor ist Rang$4$, der Ricci-Tensor ist Rang$2$, und der Ricci-Skalar ist Rang$0$, wie der Name schon sagt.

Es ist auch ein nützliches Konzept, da es sofort anzeigt, wie sich die Komponenten des Tensors unter Koordinatentransformationen transformieren. Ein Rangtensor$k$wird sich mit verwandeln$k$Faktoren des Jakobischen der Koordinatentransformation.

Der Rang eines Tensorfeldes ändert sich nicht von einem Punkt zum anderen (zumindest in Standardbehandlungen). Bei koordinatenfreien Behandlungen der Differentialgeometrie ein Tensorfeld von Rang$k$kann als Abbildung definiert werden, die jedem Punkt zugeordnet ist$p$auf dem Verteiler ein Rang$k$Tensor auf dem Tangentialraum$T_pM$am Punkt$p$. Nach dieser Definition ist der konstante Rang des Tensorfeldes unmittelbar.

Es gibt schon viele gute Antworten. Tensoren und ihre Zerlegung in einfache Tensoren sind für praktisch jedes Thema der Physik wichtig.

I) Zunächst einmal werden Funktionalanalysis und Operatortheorie in fast allen Zweigen der Physik verwendet. Und Rang-eins-Operatoren

$$\tag{1} T~\in~{\cal L}(V;W)~\cong~ V^{*}\otimes W$$

sind hier wichtige Objekte. ZB in der Quanteninformationstheorie, wie Zoltan Zimboras in seiner Antwort erwähnt. Insbesondere ist ein Dichteoperator dann Rang eins, wenn es sich um einen reinen Zustand handelt. Sonst ist es ein Mischzustand.

II) Die Liste geht weiter. Man kann zB auch antisymmetrische Tensorprodukte betrachten, die üblicherweise äußere Produkte genannt und mit einem Keil bezeichnet werden$\wedge$. ZB ein total schiefsymmetrisches Trivektorfeld

$$\tag{2} \pi~=~\frac{1}{3!}\pi^{ijk} \partial_{i}\wedge\partial_{j} \wedge\partial_{k} ~\in~\Gamma(\bigwedge{}^{\!3} TM)$$

auf einem Verteiler$M$heißt traditionell zerlegbar [1], wenn drei Vektorfelder existieren$X,Y,Z \in \Gamma(TM)$so dass

$$\tag{3} \pi~=~X\wedge Y\wedge Z.$$

Der Name zerlegbares Trivektor-Feld (3) ist etwas unglücklich, weil (3) genau die Rolle von "atomaren" Bausteinen für alle Trivektor-Felder spielt. [Es gibt eine offensichtliche Verallgemeinerung von (2) und (3) zu$n$-multivector-fields.] Als nächstes können wir (2) verwenden, um a zu bilden$3$-Klammer

$$\tag{4} \{f,g,h\}~=~\pi^{ijk}~ \partial_{i}f ~\partial_{j}g~ \partial_{k}h, \qquad f,g,h~\in~C^{\infty}(M).$$

Nambu hat dies bekanntermaßen untersucht$3$-Klammern im Jahr 1973, siehe zB Ref.-Nr. 1 und diese Phys.SE-Antwort. Die meisten Autoren scheinen darin übereinzustimmen, dass die korrekte Verallgemeinerung einer Jacobi-ähnlichen Identität für a$3$-Klammer ist die sogenannte Filippov-Fundamentalidentität (FI). Vielleicht überraschenderweise kann man beweisen [1], dass die fundamentale Identität von Filippov die Zerlegbarkeit (3) einer Nambu-Klammer impliziert, dh es gibt keine nicht zerlegbaren Nambu-Poisson-Klammer.

Verweise:

1. JA de Azcarraga und JM Izquierdo,$n$-äre Algebren: eine Übersicht mit Anwendungen, J. Phys. A43 (2010) 293001, arXiv:1005.1028 .