Ist Diskretion eine emergente Eigenschaft?

Sie scheinen sich auf eine Art platonisches Ideal dessen zu berufen, was wirklich da ist. Es gibt einfach zwei äquivalente Möglichkeiten, Dinge zu definieren: ausgehend von kontinuierlichen Funktionen und stufenartige Funktionen willkürlich steil machen, um Diskretion zu erhalten; oder von diskreten Mengen ausgehen und beliebig vielen Zuständen erlauben, sich einem Kontinuum anzunähern.

Wie Sie bemerken, scheint die physische Welt Dinge zu enthalten, die in gewisser Weise eher dem einen oder anderen zuzuordnen sind (quantisierte Energieniveaus, Impulskontinuum). Daher ist die Verwendung eines Modells oft natürlicher als das andere, aber das bedeutet nicht, dass es notwendigerweise grundlegender ist. Es ist nicht klar, dass die Frage, was grundlegender ist – wenn wir erst einmal erkennen, dass es eine Äquivalenz zwischen den beiden Modellen gibt und dass bestimmte grundlegende Phänomene natürlicher in eine der beiden Kategorien fallen können – überhaupt eine vernünftige Frage ist. "Beides", "Modelle sind eine Eigenschaft dessen, was in Ihrem Kopf ist, nicht unbedingt die Realität", "diskret, weil wir dort bessere Theoreme haben" und verschiedene andere Dinge scheinen gleichermaßen vernünftig zu sein.

Versteckte Diskretion kann zu offensichtlicher Diskretion führen

Ich würde die meisten Ihrer Beispiele so beschreiben, dass sie Diskretion auf einer höheren Ebene demonstrieren, die aus Diskretion auf einer niedrigeren Ebene hervorgeht.

• Die Riemann-Zeta-Funktion ist eine kontinuierliche Funktion, die die Eigenschaften der Primzahlen codiert – sie ist jedoch als analytische Fortsetzung einer unendlichen Reihe definiert, die sich über die ganzen Zahlen summiert; Die Beziehung zwischen dem Riemann-Zeta und den Primzahlen kann aufgrund der Tatsache angesehen werden, dass das Riemann-Zeta für reale Eingabewerte, für die die Reihe konvergent ist, eine Art Wahrscheinlichkeitsverteilung über die ganzen Zahlen in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass dies der Fall ist über den Fundamentalsatz der Arithmetik durch eine beliebige Primzahlzahl teilbar.

• Die Stringtheorie, eine vorgeschlagene Teilchentheorie, berücksichtigt kontinuierliche Objekte – die eine endliche Länge haben, wie z. B. geschlossene Schleifen, die eine Längenskala definieren und die möglichen Schwingungsmodi bestimmen.

• Durch QM ergeben sich Diskretheit von Energieniveaus etc. aus einer kontinuierlichen Wellengleichung – insbesondere weil die Elektronen von Protonen angezogen werden; wo insbesondere alle Elektronen die gleiche Ladung haben, haben alle Protonen die gleiche Ladung. Wir hätten immer noch diskrete Energieniveaus für jedes einzelne Atom, wenn dies nicht der Fall wäre, aber es wäre viel schwieriger für uns, dies zu entdecken, weil wir es durch Masseneigenschaften von Materie entdeckt haben (z. B. Experimente mit erhitzten Gasen). . Noch bemerkenswerter ist, dass Protonen und Elektronen beide die gleiche Ladungsgröße haben.

In jedem Fall kann die Diskretion, die wir als "auftauchend" finden, nur aufgrund einer Diskretion entstehen, die auf einer anderen niedrigeren Ebene vorhanden ist. Einfache kontinuierliche mathematische Objekte, wie der reelle Zahlenstrahl oder eine Exponentialkurve, verraten überhaupt kein besonderes Zeichen von Diskretion; obwohl unsere einzigen Werkzeuge, um das Konzept der realen Linie zu beschreiben, durch diskrete Symbole sind – und durch den Nachweis, dass sie sich keinem naiven Modell der Diskretion anpassen.

Diskretion und Kontinuität als heuristische Konzepte

Vielleicht Ihre Bemerkung

Jede Theorie über alles, was Menschen finden können, oder jeder mathematische Satz muss unter Verwendung einer endlichen Menge diskreter Symbole formuliert werden

ist das Interessantere: Ist es so, dass jede Theorie , die wir formulieren können, Diskretion beinhaltet, und wenn ja, liegt es an unseren Notationssystemen? Ich denke, dass Mathematik – sowohl als Beispiel für Sprache als auch als Erweiterung unseres Interesses an Quantität und Struktur – Diskretion auf ihren tiefsten Ebenen beinhaltet, möglicherweise weil Diskretisierung in den mehreren Millionen Jahren, in denen Probleme schnell und gut genug gelöst werden können, fruchtbar ist unsere Vorfahren lebten.

Aber es ist nicht klar, dass dies bedeutet, dass wir Diskretion wahrnehmen müssen, wo keine ist. In der Tat haben wir lange gebraucht, um Diskretion dort wahrzunehmen, wo sie offensichtlich existierte, in Form der atomaren Theorie der Materie; und in einigen Zweigen der Mathematik ist es viel einfacher, ein großes diskretes Objekt (z. B. eine unendliche Reihe) durch ein kontinuierliches (in diesem Fall ein Integral) anzunähern, als das diskrete Objekt direkt auszuwerten. Hier sehen wir, dass es manchmal eine fruchtbarere Strategie ist, Dinge so zu berechnen, als wären sie ein Kontinuum.

Spracherkennung ist ein interessantes Beispiel: Sprachelemente sind diskrete Phoneme, die eine grobkörnige Beschreibung eines zeitabhängigen Frequenzspektrums darstellen, das Druckwellen in Luft darstellt, die eigentlich aus einzelnen Atomen bestehen, aber selbst Spitzen in der kontinuierlichen Welle sind -Funktion und so weiter. Unsere besten Beschreibungen von Phänomenen schwanken zwischen der Frage, ob es besser ist, dieses Phänomen als Kontinuum oder als diskret zu modellieren. Darüber hinaus werden die Entscheidungen im Wesentlichen von uns aus Gründen der rechnerischen (und konzeptionellen) Bequemlichkeit getroffen.

Angesichts der Lektion der Quantenmechanik könnten wir fragen, ob es eine ausgeschlossene Mitte von etwas gibt, das in gewisser Weise weder diskret noch ein Kontinuum ist, sondern Merkmale von beidem hat. Vielleicht wäre eine solche Vorstellung informativer für die Art und Weise, wie die Welt funktioniert, und erklärt, warum wir dazu neigen, bei der Beschreibung der Welt zwischen Kontinua und Quanten zu wechseln. Aber was noch wichtiger ist, die Begriffe Diskretion und Kontinuum sind Werkzeuge, die wir verwenden, um die Welt zu verstehen, und unsere Vorstellungen davon, was die Zeichen von „Kontinuität“ und „Diskretion“ sind, schlagen uns vor, wie wir versuchen können, die Welt zu verstehen Welt, die uns nicht unbedingt einen Einblick in ihre grundlegende Natur geben wird, es sei denn, wir hatten das Glück, dass diese praktisch sindKonzepte beziehen sich auf grundlegende Merkmale der Welt.

Ich glaube nicht, dass man ohne genaueren Kontext sagen kann, was von beiden emergent ist. Was emergent ist, kann auch historisch bedingt sein.

Diskretion und Kontinuität sind miteinander verwoben. Nehmen Sie die richtige Linie, es besteht aus diskreten Punkten. Jetzt sagen wir natürlich, dass die reelle Linie eine Topologie hat, die gerade gegebene Topologie ist die diskrete Topologie - aber tatsächlich gibt dies nicht die geometrischen Eigenschaften der reellen Linie wieder, wie wir sie verstehen - wir benötigen stattdessen die Intervalltopologie. Natürlich bleiben die Punkte der Geraden als mengentheoretisches Substrat bestehen; aber in der sogenannten sinnlosen Topologie können wir dieses Substrat loswerden und nur die Topologie betrachten (technisch wird diese Theorie die Theorie der Örtlichkeiten genannt). Es mag den Anschein haben, dass wir die Diskretion losgeworden sind; aber dieser Verlust ist nur scheinbar. Wir haben uns der Diskretion entledigt, wenn wir sie als Punkte betrachten; aber nicht als Diskretion, wenn man sie als die Elemente der Topologie betrachtet. Was wir in dieser Perspektive getan haben, ist, den Begriff der Diskretion zu erweiternso dass es nicht gleichbedeutend mit dem Begriff Punkt ist .

Aber wenn wir die Linie in der euklidischen Geometrie (synthetische Geometrie) betrachten, sehen wir, dass sie nicht aus Punkten besteht, die Linie ist gegeben. Wo sich jedoch zwei Linien kreuzen, haben wir einen Punkt auf jeder Linie markiert. Dies ist der Beginn der analytischen oder kartesischen Geometrie. Hier entsteht Diskretion aus dem Kontinuierlichen. Oder das Analytische aus dem Synthetischen.

Anstatt zu sagen, dass das eine dem anderen vorausgeht und das andere daraus hervorgeht; es ist besser zu sagen, dass beides aus dem anderen hervorgehen kann; und keiner ist vorher.