Ist eine Tetrade äquivalent zu einer lokalen (ortsabhängigen) Lorentz-Transformation eaμ=Λ(x)aμeμa=Λ(x)μae_{\mu}^{a}=\Lambda(x)_{\mu}^{a} ?

Die Gleichung im Titel wird bis zur Hälfte nicht aufgehen. Nehmen wir an, wir betrachten eine nicht flache Raumzeit, die mit einer Metrik ausgestattet ist$g_{\mu\nu}$. Darüber hinaus lässt unsere Mannigfaltigkeit einen überdeckenden Satz von Tetraden (Vielbeins/Rahmenfelder, wie auch immer Sie sie nennen wollen) zu, so dass wir einen lokalen „Laborrahmen“ definieren können.

$$\eta_{ab}=e_{a}^{\mu}g_{\mu\nu}e_{b}^{\nu}$$

Ich interessiere mich hier für zwei verschiedene Punkte auf einem Verteiler. Da jeder lokale Rahmen Minkowskisch ist, ist es sinnvoll zu sagen, dass zwei beliebige Tetradenrahmen (z. B. an Punkten$A$Und$B$) kann durch eine Lorentz-Transformation in Beziehung gesetzt werden:

$$\eta(B)_{cd}=\Lambda_{c}^{a}e_{a}^{\mu}(A)g_{\mu\nu}(A)e_{b}^{\nu}(A)\Lambda_{d}^{b}$$

Die Tatsache, dass die Minkowski-Metrik unverändert ist, ist kaum überraschend; jedoch unsere$\Lambda$s müssen jetzt jedoch eine Funktion von Raumzeitpositionen sein, da verschiedene Positionen mit Punkten in Beziehung stehen$A$'s Frame durch verschiedene Lorentz-Transformationen (wobei man normalerweise eine „globale“ Lorentz-Transformation verwendet). Wir könnten dasselbe mit einem Vektor machen$V^{\mu}$.

$$V(B)^{b}=\left(\Lambda(x^{i})\right)_{a}^{b}e_{\mu}^{a}(A)V^{\mu}$$

$$e_{\mu}^{a}(x_{B})=\Lambda_{b}^{a}(x_{B})e_{\mu}^{b}$$

Angenommen, es gibt eine endliche Region unserer Raumzeit, die Minkowskisch erscheint, dann wäre die Tetrade einfach die Identitätsmatrix innerhalb dieser Region. Durch die ortsabhängige Lorentz-Transformation dieses Rahmens können wir die Tetrade aber immer noch in jedem anderen Punkt darstellen. Daher scheint Folgendes zu gelten:

$$e_{\mu}^{a}=\Lambda(x)_{b}^{a}\mathbf{1}_{\mu}^{b}=\Lambda(x)_{\mu}^{a}$$

$$g_{\mu\nu}=\Lambda(x)_{\mu}^{a}\eta_{ab}\Lambda(x)_{\nu}^{b}$$

Damit können wir die Tetrade und damit das Gravitationsfeld durch eine ortsabhängige Lorentz-Transformation darstellen!

Für den Leser ist es wahrscheinlich offensichtlich, dass es keine Möglichkeit gibt, eine solche Transformation zwischen Punkten eindeutig zu definieren, was dem gesamten Aufbau ein hohes Maß an Willkür verleiht. Insbesondere könnte man zwei verschiedene Pfade zwischen den Punkten verfolgen und man sollte sehr wohl damit rechnen, zwei unterschiedliche zu erhalten$\Lambda$'S. Der gesamte Aufbau ist dann also nur bis auf eine gesamtglobale Lorentztransformation definiert.

Anstatt unsere Konstruktion zu verurteilen, sollte dies ein großer Trost sein! Es bedeutet, dass wir lokal vernichten können$\Lambda(x)$an jedem Punkt (und damit das Gravitationsfeld) durch eine Wahl der globalen Lorentz-Transformation. (ganz im Sinne des Äquivalenzprinzips)

Beachten Sie, dass wir, da wir die Lorentz-Gruppe (eine Lie-Gruppe) verwenden, wissen, dass wir Lorentz-Transformationen in Form von Rotationen anwenden können (normalerweise als$\overrightarrow{J}$) und Boosts (bezeichnet$\overrightarrow{K}$). Dies ermöglicht es uns, unsere allgemeinen Transformationen wie folgt zu schreiben (ich werde konstante Faktoren weglassen, nur um die Notation zu vereinfachen):

$$\Lambda(x)=e^{i\overrightarrow{J}\cdot\overrightarrow{\theta(x)}+i\overrightarrow{K}\cdot\overrightarrow{\phi(x)}}$$

Ich fand es ziemlich interessant. Wenn Sie dies auf sich richtig bewegende Felder und so weiter ausdehnen wollten, stelle ich mir vor, dass Sie die Transformation auf die gesamte Poincare-Gruppe ausdehnen möchten.

Hinweis Ich habe jedes Gerede über konforme Änderungen an der Metrik unter den Teppich gekehrt, aber ich war neugierig, eine andere Meinung zu diesem Setup zu bekommen, bevor ich es mit konformen Änderungen zu tun habe. Habe ich das vermasselt?

BEARBEITEN: Mir ist klar, dass dieses Setup möglicherweise nur für eine Familie geodätischer Beobachter gilt (überall definiert).

NACHTRAG: Ich glaube, ich muss ein Beispiel geben :

Angenommen, wir schieben eine Testperson aus der internationalen Raumstation und beobachten, wie sie auf die Erde fällt (unter der Annahme eines perfekten Vakuums auf dem ganzen Weg nach unten). Wir könnten ihren lokalen Rahmen an jeder Position als Lorentz-Transformation unseres eigenen Rahmens auf der ISS schreiben. Wenn wir sie alle abbilden, könnten wir die allgemeine Lorentz-Transformation als Funktion der Position der "Testperson" schreiben$\Lambda_{c}^{a}(\overrightarrow{r})$.

$$\Lambda_{c}^{a}(\overrightarrow{r})\left\{ e_{a}^{\mu}\right\} _{ISS}=\left\{ e_{c}^{\mu}\right\} _{TestPerson}$$

Da wir die ISS beliebig weit von der Erde entfernen könnten, könnten wir es lassen$\left\{ e_{a}^{\mu}\right\} _{ISS}\longrightarrow\mathbf{1}_{a}^{\mu}$sehr weit weg (wo$\mathbf{1}_{a}^{\mu}$ist nur die Identität), was uns einfach übrig lässt:

$$\Lambda_{c}^{a}(\overrightarrow{r})\left\{ \mathbf{1}_{a}^{\mu}\right\} _{ISS}=\Lambda_{c}^{\mu}(\overrightarrow{r})=\left\{ e_{c}^{\mu}\right\} _{TestPerson}$$

Als Lie-Gruppenelement (wie oben) geschrieben, wären die jeweiligen Rotationen und Boosts eine Funktion der Position. Ich denke, dann enthält dies alle Informationen unserer ursprünglichen Tetrade (obwohl dies im Allgemeinen nicht der Fall ist). Ich denke, das ist genau das Gleiche wie von einer globalen Spurweitentransformation zu einer lokalen zu wechseln, wenn mein Verstand richtig arbeitet.

Hier gehen wir von einer globalen Lorentz-Transformation zu einer lokalen über. Letzteres gilt für spezielle relativistische Fälle und ersteres für "allgemeinere" relativistische Fälle.