Ist es richtig, die Ableitung als Steigung der Tangente zu lehren?

Question

Ist es richtig, die Ableitung als Steigung der Tangente zu lehren?

MathematikStudent1122

In der einführenden Analysis die Ableitung einer differenzierbaren Funktion $f$ Irgendwann wird oft als Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt gelehrt.

Meine Frage ist, ist das nicht ein Zirkelschluss? Tangenten werden schließlich mit Ableitungen definiert. Genauer gesagt eine Tangente an einen Graphen einer reellen Funktion $f$ irgendwann $a$ in seinem Bereich, in dem es differenzierbar ist, wird durch die Gleichung definiert

$y=f(a) + f'(a)(x-a)$

Die Steigung der Tangente wird als Ableitung definiert. Daher lautet die Aussage "Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt" im Wesentlichen "Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist ihre Ableitung an diesem Punkt". Der neugierigere Schüler, der die informelle Vorstellung einer Tangente nicht ohne weiteres akzeptiert, wird daher verwirrt.

Dies führt zu einem allgemeineren Punkt: Warum sollte man sich überhaupt die Mühe machen, „Tangenten“ und „augenblickliche Änderungsrate“ zu diskutieren? Einige Lehrer (wie mein Lehrer für Analysis) beschließen, zu meiner Verwunderung auch Infinitesimale einzubauen (meine Analysis-Klasse ist brillant, aber noch nicht ganz in dem Stadium, in dem wir die Theorie hinter hyperreellen Zahlen verstehen können). Warum reicht die analytische Definition nicht aus? Betrachten Sie nämlich eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ Wo $I \subseteq \mathbb{R}$ Und $x_0 \in I$ . Wenn es eine reelle Zahl gibt $L$ so dass $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$ so dass für alle $x \in I$ , $0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow |\frac {f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} - L|<\epsilon$ , wir sagen $f$ ist differenzierbar bei $x_0$ und bezeichnen $L=f'(x_0)$ , die Ableitung von $f$ bei $x_0$ .

James

Es ist nicht kreisförmig, es sei denn, Sie verlassen das

f^{'} (a)

$f'(a)$ In

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)

$y = f(a) + f'(a)(x-a)$ nicht definiert. Es ist ganz normal definiert

f^{'} (a)

$f'(a)$ als Grenze des Differenzenquotienten an

a

$a$ (falls vorhanden). Wenn wir unterrichten, haben wir oft eine geometrische oder physikalische Interpretation oder Motivation im Sinn und versuchen, dies eher in den Vordergrund zu rücken als die Analyse, weil viele Analysisstudenten nicht einmal die Definition einer Grenze sehen.

Motiv

Sie verwechseln "mathematische" Definitionen mit intuitiven Interpretationen. Die grafische Darstellung des Obigen ist eine Tangente.

Benutzer301988

math.stackexchange.com/questions/1053482/…

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Ist es richtig, die Ableitung als Steigung der Tangente zu lehren?

Es ist nicht kreisförmig, es sei denn, Sie verlassen das $f'(a)$ In $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ nicht definiert. Es ist ganz normal definiert $f'(a)$ als Grenze des Differenzenquotienten an $a$ (falls vorhanden). Wenn wir unterrichten, haben wir oft eine geometrische oder physikalische Interpretation oder Motivation im Sinn und versuchen, dies eher in den Vordergrund zu rücken als die Analyse, weil viele Analysisstudenten nicht einmal die Definition einer Grenze sehen.
Sie verwechseln "mathematische" Definitionen mit intuitiven Interpretationen. Die grafische Darstellung des Obigen ist eine Tangente.

Pedro · Answer 1

Wäre ein Zirkelschluss wenn der Weg beschritten wäre

\begin{aligned} Formale Definition der Tangente & ⟶ Formale Definition von Derivat \\ ⟶ Formale Definition der Tangente \end{aligned}

$\begin{align} \text{Formal definition of tangent }&\longrightarrow\text{ Formal definition of derivative}\\ &\longrightarrow\text{ Formal definition of tangent} \end{align}$

Dies ist jedoch nicht der Fall.

In dem Satz ist die Ableitung die Steigung der Tangente , das Wort „ist“ ist zu verstehen als „wird interpretiert als“. In dem Satz die Steigung der Tangente ist die Ableitung , ist das Wort „ist“ zu verstehen als „ist definiert als“.

Formal ist die Steigung der Tangente $f'(a)$ (Ableitung bei $a$ ). Aber nur intuitiv $f'(a)$ ist die Steigung der Tangente; Mit anderen Worten, die Ableitung "kann gedacht werden" als die Steigung der Tangente. Formal, $f'(a)$ ist die Grenze $\lim_\limits{x\to a} \frac{f(a)-f(x)}{a-x}$ . Es stellt sich heraus, dass die Motivation für die formale Definition von $f'(a)$ ist der geometrische Begriff der Tangente. Der folgende Weg ist also

\begin{aligned} Geometrischer Begriff der Tangente & ⟶ Formale Definition von Derivat \\ ⟶ Formale Definition der Tangente \end{aligned}

$\begin{align} \text{Geometric notion of tangent }&\longrightarrow\text{ Formal definition of derivative}\\ &\longrightarrow\text{ Formal definition of tangent} \end{align}$

Wir arbeiten nicht mit mehreren Definitionen. Wir arbeiten mit mehreren Denkweisen. Aus dieser Sicht ist die Argumentation kein Zirkelschluss.

Die Ableitung kann man sich vorstellen als:

Infinitesimal: das Verhältnis der infinitesimalen Wertänderung einer Funktion zur infinitesimalen Änderung einer Funktion.

Symbolisch: die Ableitung von $x^n$ Ist $nx^{n-1}$ , die Ableitung von $\sin(x)$ Ist $\cos(x)$ die Ableitung von $f\circ g$ Ist $f'\circ g*g'$ , usw.

Logisch: $f'(x)=d$ wenn und nur wenn für alle $\epsilon$ da ist ein $δ$ so dass wann $0<|\Delta x|< \delta$ ,
$| \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X} - D | < δ .$ $\left|\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-d\right|<\delta.$

Geometrisch: Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion, wenn der Graph eine Tangente hat.

Rate: die momentane Geschwindigkeit von $f(t)$ , Wenn $t$ ist an der Zeit.

Annäherung: Die Ableitung einer Funktion ist die beste lineare Annäherung an die Funktion in der Nähe eines Punktes.

Mikroskopisch: Die Ableitung einer Funktion ist die Grenze dessen, was man erhält, wenn man sie unter einem Mikroskop mit immer höherer Vergrößerung betrachtet.

Dies ist eher eine Liste verschiedener Denk- oder Vorstellungsweisen der Ableitung als eine Liste verschiedener logischer Definitionen . (WP Thurston, Über Beweis und Fortschritt in der Mathematik )

Danke, das ist eine hilfreiche Antwort! Es ist nur so, dass einige Lehrer auf der Einführungsebene die Unterscheidung zwischen geometrischen/intuitiven Vorstellungen von was nicht ausdrücklich hervorheben $f'(a)$ Mittel und die formale Definition. Zum Beispiel: Betrachten Sie die Wikipedia-Seite zum Derivat. Im zweiten Absatz heißt es, dass die "Ableitung einer Funktion einer einzelnen Variablen bei einem gewählten Eingabewert ... die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt ist". Wäre es nicht präziser, das ist durch „kann gedacht werden als“ zu ersetzen?
@MathematicsStudent1122 Ich stimme dir zu. Für ein klares Verständnis sollte die Unterscheidung zwischen der formellen Diskussion und der informellen Diskussion berücksichtigt werden. Sobald wir das getan haben, können wir die Sprache missbrauchen, um die Kommunikation zu erleichtern. Wenn jedoch keine Klärung erfolgt, tauchen Zweifel auf.

Ist es richtig, die Ableitung als Steigung der Tangente zu lehren?

MathematikStudent1122

James

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Benutzer301988

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Pedro

MathematikStudent1122

Pedro

Das Gleichgewicht in einer mathematischen Frage finden (Lehre)

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