Lösen von Übergangsschaltungen mit seriellem RLC unter Verwendung von Laplace-Transformation

Ich glaube nicht, dass ich Ihnen alle Details geben kann, aber dies könnte Ihnen beim Einstieg helfen. Glücklicherweise gibt es dazu viele Informationen im Web. Ein typischer Weg, einen Ausdruck wie Ihren umzukehren, besteht darin, eine Tabelle mit Laplace-Transformationen nachzuschlagen und den Ausdruck so umzuschreiben, dass die Komponenten mit einer oder mehreren der Formen in der Tabelle übereinstimmen. Mit Ihrem Ausdruck passt es in diese beiden Formen (von Wikipedia kopiert):

Schreiben Sie nun Ihren Ausdruck so um$I(s) = AP(s) + BQ(s), A,B$sind Konstanten.
Der erste Schritt des Umschreibens wäre wahrscheinlich das Umschreiben des Nenners durch "Vervollständigen des Quadrats". Und Sie würden beim Umschreiben Konstanten ausklammern.
Nachdem Sie P(s) und Q(s) erhalten haben, um genau mit den Formen in der Tabelle übereinzustimmen, dann$i(t) = Ap(t) + Bq(t)$unter Verwendung der ursprünglichen Funktionen, die durch die Tabelle gegeben sind.

Neue Bearbeitung: Ich war neugierig und beendete die umgekehrte Transformation wie unten

$$I=\frac{8 \times 10^{-5}s + 0.4}{4 \times 10^{-3} s^2 + 32s +10^5} =\frac{0.02s + 100}{s^2 + 8000s + 25000000}$$ $$=0.02 (\frac{s + 5000}{s^2 + 8000s + 25000000}) =0.02 (\frac{s + 5000}{(s+4000)^2 + 3000^2})$$ $\alpha=4000$, $\omega=3000$Diese stimmen mit den Wurzeln überein, die Sie für die Pole berechnet haben. $$I = 0.02 (\frac{s + 4000 - 4000 + 5000}{(s+4000)^2 + 3000^2}) = 0.02 (\frac{s + 4000}{(s+4000)^2 + 3000^2}+\frac{1000}{(s+4000)^2 + 3000^2}) = 0.02 (\frac{s + 4000}{(s+4000)^2 + 3000^2}+\frac13\frac{3000}{(s+4000)^2 + 3000^2})$$ $$i(t) = 0.02(e^{-4000t}cos(3000t) + \frac13e^{-4000t}sin(3000t))$$

Was mich neugierig machte, war, dass ich versuchte, auch die umgekehrte Transformation von WolframAlpha zu erhalten, und eine wirklich komplizierte Antwort in echter Form erhielt. Meine Vermutung ist, dass es eine mechanische Methode verwendet, die eine Antwort liefert, die zu kompliziert ist, um sie zu reduzieren. Wenn man also einfach Zahlen in einen Computer steckt, um Antworten zu erhalten, bleiben manchmal einfachere Beziehungen verborgen.

Ich habe meine unten angegebene Lösung in Excel tabellarisch und graphisch dargestellt (völlig allgemeine/universelle Lösung, dh alle 3 Fälle, siehe unten; ich kann sie einem Interessenten per E-Mail zukommen lassen; ich bin Tscheche, da der Anfragende MightyPork höchstwahrscheinlich ist ) und haben die Schaltung auch in PSpice simuliert (identische Ergebnisse mit Excel-Grafik unten erhalten). Anstelle von ' ich mit Hut ' habe ich bei meiner Herleitung die I ( s ) -Notation verwendet .

http://www.wolframalpha.com/widget/widgetPopup.jsp?p=v&id=7c762190486dfb47dca59a9a1f8cb1a8&title=Inverse%20Laplace%20Transform%20Calculator&theme=orange&i0=(s-z0)/(s(s-p1)(s-p2) )&i1=s&i2=t&podSelect=&includepodid=Eingabe&includepodid=Ergebnis

(Grundstück hinzugefügt am 13.02.2015)

Anhang: (hinzugefügt am 11.02.2015)

MightyPork schrieb:

…Da bin ich irgendwie hängengeblieben, ich weiß nicht mehr weiter. Es ist auch möglich, dass ich einen Fehler gemacht habe. Wie bekomme ich Strom im Zeitbereich? Es sollte eine Art gedämpfte Welle sein, wenn man auf die Pole schaut, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich die umgekehrte Transformation davon machen soll ...

1. Ja, Sie haben einen kleinen Fehler gemacht, bei dem ein Minuszeichen im Exponenten fehlt (eher eine Art "Tippfehler"):

2. Um die umgekehrte Transformation davon durchzuführen, sollten Sie, wenn Sie den oben erwähnten "WolframAlpha-Rechner" (oder ein anderes ähnliches Werkzeug, tabellierte Ausdrücke usw.) verwenden möchten, die Wurzeln des Zählers (Nullen) und des Nenners (Pole; Sie haben es bereits getan) und schreiben Sie die rechte Seite wie folgt um:

Für unseren Ausdruck finden Sie die inverse Laplace-Transformation wie folgt:

Wenn wir also nur an unserem speziellen Fall (mit komplexen Polen) interessiert sind, können wir schreiben:

Das Endergebnis (wie Rioraxe bereits gesagt hat) ist also:

---

Auf der Suche nach der Spannung$u_C(t)$, müssen wir den errechneten Strom wie folgt integrieren (das wissen wir$u_C(0) = 0$):

(Ich habe innerhalb der Funktion i ( t ) eine Variable x anstelle von t verwendet , um die unabhängige Variable nicht mit den bestimmten ganzzahligen Grenzen zu verwechseln, die schließlich die unabhängige Variable im Ergebnis werden (nach Integration und Substitution)

Wenn wir es manuell machen wollten, wäre es besser, den obigen " Exponentialausdruck " zu verwenden, weil

und die Integration selbst wird ziemlich einfach, aber machen wir es mit dem WolframAlpha-Rechner :

Anfordern der Integration eines generischen Ausdrucks ' e^ax (c sin(bx) + d cos(bx)) '

durch Eingabe des Befehls " Integrate e^ax (c sin(bx) + d cos(bx)) " bei

http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/

wir erhalten:

und für die folgenden gegebenen Werte$\> a \> = \> –4000; \> b = \> 3000; \> c \> = \> \frac{1}{3}; \> d \> = \> 1, \> C \> = \> 0,4 \cdot 10^{–6} \>$:

… erstaunlicherweise das gleiche Ergebnis wie zuvor :) (nachdem ich zuvor die Laplace-Transformation bis zum Ende der Berechnung verwendet hatte)