Nicht-relativistischer Elektronen-Hamiltonoperator

Es gibt keine Möglichkeit, den Spin-Wechselwirkungsterm abzuleiten$H_I$aus nichtrelativistischer Mechanik und Anwendung$\mathbf p,\mathbf r$nur. Der Spin ist eine intrinsische Eigenschaft des Elektrons und man muss ihn postulieren. Hier schlage ich drei Möglichkeiten vor, sich selbst zu überzeugen:

1. Eine Möglichkeit ist, es so zu nehmen, wie es ist, eine Wechselwirkung mit einem Drehimpuls. Davon können Sie sich überzeugen, wenn Sie expandieren$(\mathbf p +e \mathbf A)^2$mit dem Messgerät$\mathbf A = \mathbf B \times \mathbf r /2$Sie erhalten verschiedene Begriffe, einer davon hat die Form:

   $$H_L=\frac{\mu_{\rm B}}{\hbar}\mathbf B \cdot \mathbf L\;.$$ Als Spin$\mathbf S$auch ein Drehimpulsoperator ist, müssen Sie die folgende Ersetzung vornehmen, um den wahren Hamilton-Operator zu erhalten: $$H_L\to H_{L-S}=H_L+H_I=\frac{\mu_{\rm B}}{\hbar}\mathbf B \cdot (\mathbf L+ g \mathbf S)\;,$$ Wo$g$eine Konstante ist (der gyromagnetische Faktor).

2. Eine andere Möglichkeit besteht darin, den nichtrelativistischen Ursprung aufzugeben. Nehmen Sie die relativistische Dirac-Gleichung und arbeiten Sie sich zu einer nicht-relativistischen Gleichung vor, Sie werden feststellen, dass der wahre Hamilton-Operator (in der nicht-relativistischen Grenze) ist

   $$H = \frac12 \frac{[2\mathbf S \cdot (\mathbf p + e\mathbf A)]^2}{2m\hbar}\,$$ wenn du das erweiterst bekommst du$H_I$mit$g=2$.

3. Es gibt noch eine dritte Möglichkeit. Wenn Sie jemals eine heuristisch abgeleitete Dirac-Gleichung kennen, wissen Sie, dass sie die Linearisierung der relativistischen Dispersionsrelation beinhaltet$E^{\rm rel}= \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$indem Sie auferlegen, dass Sie eine Gleichung erhalten, die nur lineare Ableitungen hat ($p$und nicht Kräfte davon,$p^2,p^4,\cdots$). Die alternative Ableitung von$H_I$besteht in der Linearisierung, nicht in der Relativistik$E^{\rm rel}$, aber Ihre übliche nicht-relativistische kinetische Energie$E=p^2/2m$stattdessen. Die resultierende Formel heißt Lévy-Leblond-Gleichung und führt natürlich zur Pauli-Gleichung (Schrödinger+$H_I)$wenn Sie versuchen, es zu lösen. Eine schrittweise Herleitung findet sich in Greiner's Quantum Mechanics . Interessanterweise bietet es auch$g=2$.

Welches ist das Beste? Meiner Meinung nach sollte die Ableitung von der allgemeinsten Lagrange-Funktion ausgehen und nicht von einer nicht-relativistischen. Wenn man jedoch den allgemeinsten Lagrange nicht kennt, ist es gut, verschiedene Ansätze zu haben, um vom Endergebnis überzeugt zu sein.

Ich nehme an, dass die analoge Situation in der klassischen Mechanik die folgende ist. Wenn Sie die Bewegung eines Objekts beschreiben, sieht sein Hamilton-Operator in eine Richtung aus, wenn Sie Ihr Objekt als Massenpunkt behandeln. Wenn Sie jedoch beginnen, das Objekt als starren Körper und nicht als Punkt zu betrachten, beginnt Ihr Modell, eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung des Massenschwerpunkts des Körpers und der Entwicklung seines Drehimpulses zu enthalten. Die Situation, auf die Sie stoßen, scheint analog zu sein. Ihr erster Hamilton-Operator beschreibt die Bewegung eines geladenen Teilchens, das als geladener Punkt behandelt wird. Die Hinzufügung des zweiten Begriffs beinhaltet jedoch die Beschreibung seines magnetischen Moments, dh Ihr geladenes Teilchen wird als Dipol (oder etwas, das ein magnetisches Moment hat, wie eine rotierende geladene Kugel) und nicht als Punkt betrachtet. Also das zweite,

Ich hoffe, diese Erklärung macht Sinn.

Der Faktor$H_I$hat nichts mit dem elektrischen Potential zu tun$\phi$. Das hat mit der Dynamik des magnetischen Moments zu tun.

So sehe ich die "Ableitung", die Sie suchen. Wenn Sie Ihr geladenes Teilchen, sagen wir das Elektron, klassisch beschreiben, stellen Sie es sich wie folgt vor: Es ist ein kleines magnetisiertes Segment, kein Punkt. Der Mittelpunkt des Segments ist sein Massenmittelpunkt. Wenn Sie die Dynamik dieses magnetisierten Segments beschreiben, möchten Sie wissen, wo es sich im Raum befindet und wie es im Raum ausgerichtet ist. Um die Konfiguration des Segments vollständig zu beschreiben, möchten Sie daher die Position kennen$x \in \mathbb{R}^3$von seiner Mitte, wo$x = (x_1, x_2, x_3)$ist ein Vektor im dreidimensionalen Raum, und die Ausrichtung seiner Achse (die mit dem Segment ausgerichtet ist und gemäß dem Magnetfeld des Segments orientiert ist) wird durch einen Vektor bestimmt$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3) \in \mathbb{R}^3$in drei Raum, so dass der Vektor$\mu$mit dem Segment ausgerichtet ist. Die Orientierung und Länge des Vektors werden in Übereinstimmung mit dem eigenen Magnetfeld des Segments bestimmt.

Jetzt wollen Sie wissen, wie$x = x(t)$Und$\mu = \mu(t)$entwickeln sich mit der Zeit unter einem externen statischen (dh zeitunabhängigen) Magnetfeld, das durch ein magnetisches Vektorpotential gegeben ist

$$A = A(x) = \big(A_1(x), A_2(x), A_3(x)\big)$$ Beachten Sie, dass sich das Magnetfeld nicht mit der Zeit ändert (daher statisch), also $\phi \equiv 0$. Das Magnetfeld könnte jedoch räumlich inhomogen sein, dh es kann von Punkt zu Punkt variieren. Das Vektorfeld des äußeren Magnetfeldes wird durch bestimmt $B = B(x) = \nabla \times A(x)$. Wie es in der klassischen Dynamik üblich ist, um die zeitliche Entwicklung der Konfiguration Ihres Objekts zu verfolgen $x(t), \, \mu(t)$, müssen Sie im Lagrange-Bild die zeitliche Entwicklung der Größen verfolgen $x(t),\, v(t), \, \mu(t)$Wo $v(t) = \frac{dx}{dt}(t)$ist die Geschwindigkeit von $x(t)$. Im Hamilton-Bild müssen Sie verfolgen $x(t),\, p(t), \, \mu(t)$Wo $p(t)$ist der konjugierte Impuls von $x$und trägt mehr oder weniger die gleichen Informationen wie die Geschwindigkeit $v$. Die Lagrange- und die Hamilton-Funktion bestehen aus den Termen, die die Dynamik von bestimmen $x, p$plus die Terme, die die Dynamik des magnetischen Moments bestimmen $\mu$. Somit ist die Lagraingian für $x, v$Ist $$L_0(x,\dot{x})=\frac{1}{2} \, m {v}^2+ {q}\, {A}(x) \cdot v = \frac{1}{2} \, m {\dot{x}}^2+ {q}\, {A}(x) \cdot \dot{x}$$ Wo $v = \dot{x} = \frac{dx}{dt}$. Der Lagrange-Term, der für die zeitliche Entwicklung des magnetischen Moments verantwortlich ist $\mu$ist die magnetische potentielle Energie $$U = U(x, \mu) = - \, B(x) \cdot \mu$$ In diesen Notationen $\, \cdot \,$ist das Skalarprodukt des dreidimensionalen Raums $\mathbb{R}^3$Und $v^2 = v \cdot v$. Um die gesamte Lagrange-Funktion zu bilden, müssen wir die potentielle Energie subtrahieren $U$vom Rest des Lagrange $L_0$, wodurch der vollständige Lagrangian erhalten wird, der die zeitliche Entwicklung der Position bestimmt $x$, die Geschwindigkeit $\dot{x}$und das magnetische Moment $\mu$: $$L = L_0 - U$$ $$L(x, \dot{x}, \mu) = L_0(x, \dot{x}) - U(x, \mu)$$ $$L(x, \dot{x}, \mu) =\frac{1}{2} \, m {v}^2+ {q}\, {A}(x) \cdot v + B(x)\cdot \mu$$ Analog ist im Hamilton-Bild der Hamilton-Operator für $x, p$Ist $$H_0(x,p)=\frac{1}{2m} \big( p - {q}\, {A}(x) \big)^2$$ Der Hamiltonsche Begriff, der für die zeitliche Entwicklung des magnetischen Moments verantwortlich ist $\mu$ist die magnetische potentielle Energie $$H_I = U = U(x, \mu) = - \, B(x) \cdot \mu$$ Um den gesamten Hamiltonoperator zu bilden, addieren wir die potentielle Energie $U$, dh der Potential-Hamiltonoperator des magnetischen Moments $H_I$, zum Rest des Hamiltonian $H_0$, wobei der vollständige Hamiltonian erhalten wird $H$die die zeitliche Entwicklung der Position bestimmt $x$, das Momentum $p$und das magnetische Moment $\mu$: $$H = H_0 + U$$ $$H(x, p, \mu) = H_0(x, p) + H_I(x, \mu) = H_0(x, p) + U(x, \mu)$$ $$H(x, p, \mu) =\frac{1}{2m} \big( p - {q}\, {A}(x) \big)^2 - B(x)\cdot \mu$$ Folglich sind die Evolutionsgleichungen für $x, p, \mu$Sind $$\begin{align*} \frac{dx}{dt} &= \frac{\partial H_0}{\partial p}(x,p)\\ \frac{dp}{dt} &= - \frac{\partial H_0}{\partial x}(x,p) - \frac{\partial U}{\partial x}(x,\mu)\\ \frac{d\mu}{dt} &= \frac{\partial U}{\partial \mu}(x,\mu) \times \mu = - \, B(x) \times \mu \end{align*}$$ Beachten Sie die Form der dritten Gleichung. Es sieht so aus, weil $\mu$ist eine Art von Größe, die sehr eng mit dem Drehimpuls verwandt ist, und seine Dynamik wird von Drehmomenten und nicht von Kräften angetrieben. Überprüfen Sie alle Zeichen (Plus und Minus) noch einmal, da ich keine dieser Ableitungen sorgfältig überprüft habe, habe ich sie einfach aus dem Kopf heraus abgeleitet und mich auf allgemeine Prinzipien und Philosophie verlassen.

Schließlich, wenn Sie an das magnetische Potential denken$U = - \, B(x) \cdot \mu$, es ergibt Sinn. Wann immer das magnetische Moment$\mu$mit dem magnetischen Vektorfeld ausgerichtet ist$B(x)$das Potenzial$U$seinen Minimalwert erreicht, und wenn Sie sich die dritte Gleichung ansehen, sehen Sie das$B(x) \times \mu = 0$. Also keine Präzession von$\mu$wird so lange auftreten$\mu$auf das Magnetfeld ausgerichtet ist. Wie auch immer, wenn$\mu$nicht ausgerichtet ist, das Potenzial$U$steigt, und Präzession beginnt zu entstehen, weil$B(x) \times \mu \neq 0$. Im Sonderfall wann$\mu$senkrecht zum Magnetfeld steht das Potential$U=0$das ist sein größter Wert, also die Präzession von$\mu$ist der stärkste.