Was passiert mit dem Wechselwirkungsterm, wenn der elektromagnetische Lagrange-Operator in einen Hamilton-Operator umgewandelt wird?

In Dirac’s Lectures on Quantum Mechanics schreibt er den Hamiltonoperator für das freie elektromagnetische Feld auf:

$$\begin{equation} H = \int \frac{1}{4} F^{rs} F_{rs} + \frac{1}{2} \pi^r \pi^r - A_0 \pi^r{}_{,r} \, \mathrm{d}^3 x \end{equation}$$

(Beachten Sie, dass Dirac verwendet$B$um den konjugierten Impuls zu bezeichnen, also habe ich ihn durch ersetzt$\pi$, was weniger verwirrend ist.)

Wertet man die ersten beiden Terme aus, findet man den bekannten Ausdruck für die Energiedichte des Feldes wieder, nämlich$\frac{1}{2}(E^2 + B^2)$. Der dritte Term wird schließlich verschwinden, sobald das Gaußsche Gesetz wiederhergestellt ist.

Meine Frage ist: Wenn wir mit dem vollständigen Lagrange begonnen haben, der den Interaktionsterm enthält$-\frac{1}{c} J^\mu A_\mu$, was passiert dann mit diesem Begriff, wenn die Legendre-Transformation durchgeführt wird? Soweit ich das beurteilen kann, landet dieser Term einfach mit geändertem Vorzeichen im Ergebnis, also

$$\begin{equation} H = H_m + \int \frac{1}{4} F^{rs} F_{rs} + \frac{1}{2} \pi^r \pi^r + \frac{1}{c} J^\mu A_\mu - A_0 \pi^r{}_{,r} \, \mathrm{d}^3 x \end{equation}$$

Wo$H_m$bezeichnet den Hamiltonoperator nur für Materieteilchen. Dies scheint nun den falschen Wert der Energiedichte zu geben; die letzte Amtszeit wird die stornieren$\rho \varphi$Begriff ein$\frac{1}{c} J^\mu A_\mu$, aber die$-\frac{1}{c} \mathbf{A} \cdot\mathbf{J}$Teil wird nicht storniert. Das bedeutet, dass sich die Hamiltonsche Dichte um unterscheiden wird$-\frac{1}{c} \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}$aus der Energiedichte

$$\begin{equation} u = u_m + \frac{1}{2}(E^2 + B^2) \end{equation}$$

Welcher Teil dieser Analyse ist also falsch?

(Entschuldigung, wenn ich die Einheiten falsch verstanden habe; ich bin nicht bewandert in cgs-Einheiten.)