Noch eine Frage zur Vier-Geschwindigkeits-Ableitung

Question

Noch eine Frage zur Vier-Geschwindigkeits-Ableitung

MNRaia

Betrachten Sie noch einmal ( Frage zur Ableitung des Vier-Geschwindigkeits-Vektors ) Folgendes:

Für ein massives Teilchen mit Position $x^{\mu}(t) = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}) \equiv (x^{0},\vec{x})$ wir definieren die Koordinatengeschwindigkeit als:
$\begin{matrix} (1) & v^{μ} := \frac{D X^{μ}}{D T} \equiv (C, \vec{v}) \end{matrix}$ $v^{\mu} := \frac{dx^{\mu}}{dt} \equiv (c,\vec{v})\tag{1}$ Wo die räumlichen Komponenten von $(1)$ mit dem klassischen Geschwindigkeitsvektor zusammenfallen und t die Koordinatenzeit ist .

Aber, $(1)$ ist in der Tat kein Vektorobjekt, da die Komponenten unter einer Lorentz-Transformation nicht als Vektoren transformiert wurden:

$\begin{matrix} (2) & \frac{D X^{' μ}}{D T^{'}} = Λ_{v}^{μ^{'}} \frac{D X^{v}}{D T} \frac{D T}{D T^{'}} = \frac{Λ_{v}^{μ^{'}}}{Λ_{v}^{0^{'}} X^{v}} \frac{D X^{v}}{D T} \neq Λ_{v}^{μ^{'}} \frac{D X^{v}}{D T} \end{matrix}$ $\frac{dx'^{\mu}}{dt'} = \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt} \frac{dt}{dt'} = \frac{\Lambda^{\mu'}_{\nu}}{\Lambda^{0'}_{\nu}x^{\nu}}\frac{dx^{\nu}}{dt} \neq \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt}\tag{2}$

Also, ich bin immer noch im Zweifel $(2)$ . Wir wissen das $(1,0)-$ Tensoren im Minkowski-Raum transformieren sich wie folgt:

A^{' μ} = Λ_{v}^{μ^{'}} A^{v}

$A'^{\mu} = \Lambda^{\mu'}_{\nu} A^{\nu}$

Wo $\Lambda^{\mu'}_{\nu}$ ist die Boost-Matrix:

Λ_{v}^{μ^{'}} = [\begin{matrix} γ & - v γ & 0 & 0 \\ - v γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\Lambda^{\mu'}_{\nu} = \begin{bmatrix} \gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Also erstens hat Einstein die Kinematik der Relativitätstheorie in Bezug auf die euklidische 3D-Geometrie und mit den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet, die die sehr grundlegenden Konzepte der Physik nahe der Lichtgeschwindigkeit zeigen (z. B. Zeitdilatation). Dann führte Minkowski die Raumzeit und die Gesamtheit eines invarianten Intervalls ein, dh den metrischen Formalismus der speziellen Relativitätstheorie. Darüber hinaus wurde mit Minkowskis Formalismus ein neuer Objekttyp benötigt, um die kinematischen Größen in den Raumzeitformalismus zu vereinen. Eine dieser Größen war der 4-Geschwindigkeitsvektor, der ein Konzept des 4-Vektors erforderte. Aber selbst wenn die Eins einen echten 4-Vektor definiert, muss dieser Vektor unter einer Lorentz-Transformation richtig transformiert werden; das ist der Fall von vier Geschwindigkeiten.

Betrachten Sie also einen Versuch, die Geschwindigkeit 4-4 zu erreichen, definiert als:

\begin{matrix} (3) & v^{μ} := (\frac{D X^{0}}{D T}, \frac{D X^{1}}{D T}, \frac{D X^{2}}{D T}, \frac{D X^{3}}{D T}) \end{matrix}

$v^{\mu} := (\frac{dx^{0}}{dt},\frac{dx^{1}}{dt},\frac{dx^{2}}{dt},\frac{dx^{3}}{dt}) \tag{3}$

Wo $t$ , ist die Koordinatenzeit in $S$ Bezugssystem [mit $x^{\mu} = (ct,x(t),y(t),z(t))$ Koordinaten]. Wenn wir dann einen echten Minkowski wollen, müssen wir den Tensorcharakter überprüfen:

\begin{matrix} (4) & \frac{D X^{' μ}}{D T^{'}} = Λ_{v}^{μ^{'}} \frac{D X^{v}}{D T} \end{matrix}

$\frac{dx'^{\mu}}{dt'} = \Lambda^{\mu'}_{\nu}\frac{dx^{\nu}}{dt} \tag{4}$

Wie Sie vielleicht erwarten, ist dies nicht richtig (und das wahre Verhalten besteht darin, die richtige Zeit einzuführen). Und das ist der Punkt, ich verstehe das nicht, was ist $t'$ ? Propertime oder einfach koordinieren Zeit in $S'$ „Nun, eigentlich bin ich verloren in dem, was wirklich passiert $(2)$ , warum verwenden wir die Kettenregel, was ist die Abhängigkeit der Zeiten [ ich meine wenn ist $t(t')$ oder $t'(t)$ ]usw.

R. Rankin

Ich finde es nützlich, sich die Vierergeschwindigkeit als die Ableitung der Koordinatenpositionen in Bezug auf die Bogenlänge auf der Weltlinie vorzustellen. „Du denkst nicht vierdimensional“ – Doc Brown

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Noch eine Frage zur Vier-Geschwindigkeits-Ableitung

Ich finde es nützlich, sich die Vierergeschwindigkeit als die Ableitung der Koordinatenpositionen in Bezug auf die Bogenlänge auf der Weltlinie vorzustellen. „Du denkst nicht vierdimensional“ – Doc Brown

Trägheitsbeobachter · Answer 1

was ist $t′$ , Propertime oder einfach nur koordinieren $S′$ ?

Antwort : Letzteres ist der Fall. Es ist die in Frames gemessene Zeit $S'$ . Es kann jedoch je nach Ereignis zur richtigen Zeit erfolgen . Per Definition ist die Eigenzeit die Zeit, die von einem Beobachter gemessen wird, der sich mit dem beschriebenen Ereignis mitbewegt .

Also wenn die $event$ Untersucht wird etwas, das weit von beiden entfernt ist, sagen wir, ein vorbeifliegendes Raumschiff und beides $S$ Und $S'$ messen, wie lange es dauert, dann weder $t$ noch $t'$ wäre der richtige Zeitpunkt. In diesem Fall die richtige Zeit $\Delta \tau$ wäre die Zeit, die jemand auf dem Raumschiff braucht, um vorbeizufliegen.

Warum verwenden wir die Kettenregel, was ist die Abhängigkeit von der Zeit?

Für zwei Beobachter in Standardkonfiguration werden ihre Koordinaten durch eine Standard-Lorentz-Transformation in Beziehung gesetzt. Das heißt, sie sind verwandt durch

\begin{aligned} T^{'} & = γ (T - \frac{v X}{C^{2}}) \\ X^{'} & = γ (X - v T) \\ j^{'} & = j \\ z^{'} & = z \end{aligned}

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

Dies kann in Matrixform geschrieben werden als

[\begin{matrix} C T^{'} \\ X^{'} \\ j^{'} \\ z^{'} \end{matrix}] = \underset{Λ_{v}^{μ}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}} [\begin{matrix} C T \\ X \\ j \\ z \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y'\\ z' \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix} }_{\Lambda^\mu_{\ \ \nu}} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y\\ z \end{bmatrix}$

Die Matrixform ist nicht notwendig, um Ihr Hauptanliegen zu adressieren. Die Abhängigkeit, nach der Sie fragen, ist genau richtig

T^{'} = γ (T - \frac{v X}{C^{2}})

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

also es sei denn, wir nehmen $t$ Es ist die richtige Zeit, dass wir das sehen $\frac{dt'}{dt}$ ist etwas kompliziert.

Das ist aber immer so

T^{'} = γ τ ⟹ D T^{'} = γ D τ

$t' = \gamma \tau \implies dt' = \gamma d\tau$

wenn die Zeit $dt'$ bezieht sich auf die Zeit, die auf dem Raumschiff vergangen ist, wie in beobachtet $S'$ . Beachten Sie, dass dies nur die übliche Formel für die Zeitdilatation ist. Dies ist ein Grund, warum es vorteilhaft ist, stattdessen mit der richtigen Zeit zu arbeiten.

Ich habe gerade Ihre zweite Frage gesehen. Ich werde das jetzt zu meiner Antwort hinzufügen

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MNRaia

R. Rankin

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Trägheitsbeobachter

Trägheitsbeobachter

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