Normalisierbare Wellenfunktion, die im Unendlichen nicht verschwindet

Nehmen Sie eine Gaußsche Funktion (oder eine andere Funktion, die schnell genug abklingt), zerhacken Sie jede Einheit und drehen Sie alle Teile seitwärts.

Lassen

$$\psi(x) = \begin{cases} 1 & \exists\, n \in \mathbb N: x \in [n, n+\frac 1 {n^2}]\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} = \sum_{n \in \mathbb N} \mathbf 1_{[n,n+\frac 1 {n^2}]}(x) ,$$ wo $\mathbf 1_A$ist die charakteristische Funktion der Menge $A$. Dann $$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} < \infty,$$ aber $\psi(x)$konvergiert nicht gegen Null als $x \to +\infty$.

Beachten Sie, dass$\psi \in L^2(\mathbb R)$, ist aber nicht zweimal (schwach) differenzierbar und kann daher nicht die Lösung der Schrödinger-Gleichung mit sein$H = -\Delta + V$. Dieses Problem kann jedoch leicht gelöst werden, indem die Rechteckfunktion durch einen glatten Impuls mit kompakter Unterstützung ersetzt wird. Alternativ verwenden

$$\psi(x) = x^2 \mathrm e^{-x^8 \sin^2 x} ,$$ wie in Beispiel 2 von §2.1 in arXiv:quant-ph/9907069 diskutiert – dies ist sogar analytisch.

Emilio Pisanty und Eckhard Giere haben in ihren Antworten bereits diskontinuierliche, stückweise konstante Gegenbeispiele gegeben. Hier liefern wir zum Spaß ein glattes, unendlich oft differenzierbares Gegenbeispiel$f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$einer quadratintegrierbaren Funktion$f:\mathbb{R} \to [0,1]$das befriedigt nicht$\lim_{|x|\to \infty}f(x)=0$. Unser Gegenbeispiel ist

$$\tag{1} f(x)~:=~ e^{- g(x)} ~\in ~]0,1], \qquad g(x)~:=~x^4 \sin^2 x~\in ~[0,\infty[.$$

Intuitive Idee: Wenn wir uns vorstellen$x$als Zeitvariable, dann die Funktion$f$kehrt periodisch auf seinen Maximalwert zurück

$$\tag{2} f(x) =1 \quad\Leftrightarrow\quad g(x) =0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x}{\pi}\in \mathbb{Z} ,$$

aber verbringt die meiste Zeit in der Nähe des$x$-Achse, um quadratisch integrierbar zu sein.

Beweis: Wir überlassen dem Leser einen detaillierten strengen mathematischen Epsilon-Delta-Beweis, aber ein skizzierter heuristischer Beweis geht so. Für jede sehr große Ganzzahl$|n|\gg 1$, definieren Sie eine verschobene Variable

$$\tag{3} y~:=~x-\pi n.$$

Für die feste Ganzzahl$n\in\mathbb{Z}$, gehen Sie von nun an immer davon aus, dass die$y$-Variable gehört zum Intervall

$$\tag{4} |y|~\leq~ \frac{\pi}{2}.$$

Zum$|y|\ll\frac{\pi}{2}$sehr klein, können wir annähern$g(x) \approx (\pi n)^4y^2$, so dass im Intervall (4) gilt

$$\tag{5} g(x)~\lesssim~ \pi^4 |n| \quad \Leftrightarrow\quad |y| ~\lesssim~ |n|^{-\frac{3}{2}}.$$

Somit können wir eine quadratintegrierbare Majorantenfunktion bilden$h\geq f$(außerhalb einer kompakten Region auf der$x$-Achse) durch Definition

$$\tag{6} h(x)~:=~\left\{\begin{array}{lcl} 1 &{\rm for}& |y| ~\lesssim~ |n|^{-\frac{3}{2}}, \cr e^{-\pi^4 |n|}&{\rm for}& |n|^{-\frac{3}{2}}~\lesssim~ |y| ~\leq~ \frac{\pi}{2}, \end{array} \right. \qquad |n|\gg 1.$$

Die Funktion$h\in {\cal L}^2(\mathbb{R})$ist im ganzen quadratintegrierbar$x$-Achse, da

$$\tag{7} \sum_{n\neq 0} |n|^{-\frac{3}{2}} ~<~ \infty$$

und

$$\tag{8} \pi \sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-2\pi^4 |n|}~<~\infty$$

sind konvergente Reihen.

Abgesehen davon, dass es nicht ausreicht, um die Konvergenz des Integrals zu beweisen

$$\int |f(x)|^2\text dx<\infty,$$ mit dem verschwindenden Limig $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$ist nur für die Konvergenz innerhalb einer geeigneten Klasse "schöner" Funktionen notwendig.

Denken Sie zum Beispiel an die Funktion

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\chi_{\left[n,n+\frac1{n^2}\right]}(x)=\left\{\begin{array}&1\text{ if } n\leq x\leq n+1/n^2 \text{ for some }n=1,2,3,\ldots,\\0\text{ otherwise.}\end{array}\right.$$ (Hier $\chi_A$ist die charakteristische Funktion einer Menge $A\subseteq\mathbb R$.) Diese Funktion hat eine Konvergenz $L^2$ganzzahlig, hat aber keine wohldefinierte Grenze im Unendlichen. Diese Funktion ist zwar nicht kontinuierlich, aber mit geeigneten Bump-Funktionen kann man eine ähnliche machen $C^\infty$Funktion mit den gleichen Eigenschaften. Dies ist die Art von Funktion, die Sie zulassen, wenn Sie keine verschwindenden Grenzen im Unendlichen festlegen - dh ziemlich hässlich.

Genauer gesagt, sagen wir, Ihre Wellenfunktion gehorcht einer stationären Schrödinger-Gleichung mit Energie$E$für ein gewisses Potenzial$V$so dass$\lim_{x\rightarrow} V(x)>E$(dh ein gebundener Zustand). Dann weißt du, dass im Unendlichen$f''(x)$hat das gleiche Vorzeichen wie$f$, die wir als positiv annehmen können. Wenn$f'(x)$in dieser Region jemals Null ist, dann weißt du, dass es für alle positiv sein wird$x$danach und$f(x)$wird monoton zunehmen, in diesem Fall die$L^2$Integral hat keine Chance auf Konvergenz. In dieser speziellen Einstellung können Sie sich dann auf monoton fallende Funktionen beschränken, und die sind nett genug, dass die Fluchtgrenze im Unendlichen erforderlich ist$L^2$Konvergenz.

(Sollte von einer strengeren Argumentation gefolgt werden, wenn ich die Zeit finde.)

Ein einfaches Beispiel, das diese Bedingung veranschaulicht

$$\lim_{|x|\to \infty} f(x) = 0 \quad (1)$$ ist nicht nötig. Wenn die Bedingung notwendig wäre $f\in L^2$würde bedeuten, dass die Grenze in (1) gilt.

Nehmen Sie in Dimension 1 die Funktion auf

$$f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} \chi_{I_n}(x)$$ wo $\chi_{I_n}$ist die charakteristische Funktion des Intervalls $I_n = [n-\frac{1}{n^2}, n+\frac{1}{n^2}]$dann wird das Integral zu ausgewertet $$\int |f(x)|^2 dx = \sum_{n=2}^{\infty} |I_n| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^2} < \infty\ .$$ Aber die Funktion konvergiert nicht gegen Null für $|x|\to \infty$.

Entschuldigung: Ich habe vergessen, die Intervalle um n zu zentrieren. Jetzt korrigiert.