Quanten-Master-Gleichung im Batalin-Vilkovisky-Formalismus

Question

Quanten-Master-Gleichung im Batalin-Vilkovisky-Formalismus

brst
Physik
Eichtheorie
Quantisierung
Supersymmetrie
Quantenfeldtheorie

soliton

Ich lese den Abschnitt 15.9 von Weinbergs Buch "The Quantum Theory of Fields, Vol. 2". Unter Schicht $\delta\Psi[\chi]$ In $\Psi[\chi]$ , wir haben

\begin{aligned} δ Z & = ich \int [D χ] \exp (ich {ICH}_{Ψ} [χ]) {(\frac{δ_{R} S [χ, χ^{‡}]}{δ χ_{N}^{‡}})}_{χ^{‡} = δ Ψ / δ χ} (\frac{δ (δ Ψ [χ])}{δ χ^{N}}) \\ = ich \int [D χ] \exp (ich {ICH}_{Ψ} [χ]) {\frac{δ_{L}}{δ χ^{N}} (\frac{δ_{R} S}{δ χ_{N}^{‡}} δ Ψ) - \frac{δ_{R}}{δ χ_{N}^{‡}} \frac{δ_{L} S}{δ χ^{N}} δ Ψ}_{χ^{‡} = δ Ψ / δ χ} \\ = \int [D χ] \exp (ich {ICH}_{Ψ} [χ]) {\frac{δ_{R} S [χ, χ^{‡}]}{δ χ_{N}^{‡}} \frac{δ_{L} {ICH}_{Ψ} [χ]}{δ χ^{N}} - ich Δ S [χ, χ^{‡}]}_{χ^{‡} = δ Ψ / δ χ} δ Ψ [χ] \end{aligned}

$\begin{split} \delta Z&=i\int[d\chi]\,\exp\big(iI_{\Psi}[\chi]\big) \left(\frac{\delta_RS[\chi,\chi^{\ddagger}]}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \right)_{\chi^{\ddagger}=\delta\Psi/\delta\chi}\left( \frac{\delta(\delta\Psi[\chi])}{\delta\chi^n}\right) \\ &=i\int[d\chi]\,\exp\big(iI_{\Psi}[\chi]\big)\left\{\frac{\delta_L} {\delta\chi^n}\left(\frac{\delta_RS}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \delta\Psi\right)-\frac{\delta_R}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \frac{\delta_LS}{\delta\chi^n}\delta\Psi\right\}_{\chi^{\ddagger} =\delta\Psi/\delta\chi} \\ &=\int[d\chi]\,\exp\big(iI_{\Psi}[\chi]\big)\left\{ \frac{\delta_RS[\chi,\chi^{\ddagger}]}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \frac{\delta_LI_{\Psi}[\chi]}{\delta\chi^n}-i\Delta S[\chi,\chi^{\ddagger}]\right\}_{\chi^{\ddagger}=\delta\Psi/ \delta\chi}\delta\Psi[\chi] \end{split}$

Die letzte Zeile ist genau gleich wie Gl. (15.9.33). Bezugnehmend auf die Definition von Antibracket

(F, G) = \frac{δ_{R} F}{δ χ^{N}} \frac{δ_{L} G}{δ χ_{N}^{‡}} - \frac{δ_{R} F}{δ χ_{N}^{‡}} \frac{δ_{L} G}{δ χ^{N}}

$(F,G)=\frac{\delta_RF}{\delta\chi^n}\frac{\delta_LG}{\delta\chi_n^{\ddagger}}- \frac{\delta_RF}{\delta\chi_n^{\ddagger}}\frac{\delta_LG}{\delta\chi^n}$

wir können sehen, dass die Quanten-Master-Gleichung lautet

- (S, S) - 2 ich Δ S = 0

$-(S,S)-2i\Delta S=0$

die ein zusätzliches Minuszeichen hat. Ich bin mir nicht sicher, ob das ein Tippfehler ist oder nicht. Könnte mir jemand helfen, diese Ableitung zu überprüfen?

Außerdem bin ich auch verwirrt $\delta_L$ Und $\delta_R$ . Jede Klarstellung wird geschätzt.

Vielen Dank im Voraus!

QMechaniker

Hallo @soliton: Gl. (15.9.35) in Weinbergs Buch lautet

(S, S) - 2 i Δ S = 0

$(S,S)-2i\Delta S=0$ , das ist die herkömmliche Form, und ohne zusätzliches Minus. Ist das zusätzliche Minus etwas, das Sie ableiten?

soliton

@Qmechaniker: Ja. Wenn Gl. (15.9.33) gilt, wird es ein zusätzliches Minus geben.

Antworten (1)

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Hallo @soliton: Gl. (15.9.35) in Weinbergs Buch lautet $(S,S)-2i\Delta S=0$ , das ist die herkömmliche Form, und ohne zusätzliches Minus. Ist das zusätzliche Minus etwas, das Sie ableiten?
@Qmechaniker: Ja. Wenn Gl. (15.9.33) gilt, wird es ein zusätzliches Minus geben.

QMechaniker · Answer 1

I) Klären wir zunächst die linke und rechte Ableitung. Linke Ableitungen werden zwischen Gl. (15.8.9) und (15.8.10) in Lit. 1. Eine linke Ableitung bedeutet eine Ableitung, die von links wirkt. Bsp wenn $F= \chi G$ , Wo $G$ hängt nicht davon ab $\chi$ , Dann $\frac{\delta_LF}{\delta\chi}=G$ . Ebenso wirkt eine Rechtsableitung von rechts . Bsp wenn $F= G\chi$ , Dann $\frac{\delta_RF}{\delta\chi}=G$ . Man kann dann ausrechnen, dass linke und rechte Ableitung bis auf einen Vorzeichenfaktor gleich sind:

\begin{matrix} (A) & \frac{δ_{L} F}{δ χ} = (- 1)^{(| F | + 1) | χ |} \frac{δ_{R} F}{δ χ} . \end{matrix}

$\tag{A} \frac{\delta_LF}{\delta\chi}~=~(-1)^{(|F|+1)|\chi|}\frac{\delta_RF}{\delta\chi}.$

Hier $|F|$ bezeichnet die Grassmann-Parität von $F$ . Beachten Sie insbesondere die linke und rechte Ableitung des Eich-Fermions $\Psi[\chi]$ sind gleich:

\begin{matrix} (B) & \frac{δ_{L} Ψ}{δ χ} = \frac{δ_{R} Ψ}{δ χ}, | Ψ | = 1. \end{matrix}

$\tag{B} \frac{\delta_L\Psi}{\delta\chi}~=~\frac{\delta_R\Psi}{\delta\chi}, \qquad |\Psi|~=~1.$

II) Betrachten wir nun den Batalin-Vilkovisky-Formalismus . Wir beginnen mit der vollen Quantenmeister-Aktion $S[\chi,\chi^{\ddagger}]$ , die von Feldern abhängt $\chi^n$ und Antifelder $\chi^{\ddagger}_n$ .

Der ungerade Laplace-Operator ist ursprünglich in Gl. (16b) von Lit. 2 wie

\begin{matrix} (16b) & Δ_{B v} := \frac{δ_{R}}{δ χ^{N}} \frac{δ_{L}}{δ χ_{N}^{‡}} . \end{matrix}

$\tag{16b} \Delta_{BV}~:=~ \frac{\delta_R}{\delta\chi^n}\frac{\delta_L}{\delta\chi^{\ddagger}_n}.$

Ref. 1 definiert (fälschlicherweise) den ungeraden Laplace-Operator als

\begin{matrix} (15.9.34) & Δ_{S W} := \frac{δ_{R}}{δ χ_{N}^{‡}} \frac{δ_{L}}{δ χ^{N}} . \end{matrix}

$\tag{15.9.34} \Delta_{SW}~:=~ \frac{\delta_R}{\delta\chi^{\ddagger}_n}\frac{\delta_L}{\delta\chi^n}.$

Man kann zeigen, dass die beiden Definitionen (16b) und (15.9.34) verwandt sind als

\begin{matrix} (C) & Δ_{B v} F = (- 1)^{| F | + 1} Δ_{S W} F . \end{matrix}

$\tag{C} \Delta_{BV}F~=~(-1)^{|F|+1}\Delta_{SW}F.$

Insbesondere die beiden Definitionen (16b) und (15.9.34) unterscheiden sich durch ein Vorzeichen

\begin{matrix} (D) & Δ_{B v} S = - Δ_{S W} S, | S | = 0, \end{matrix}

$\tag{D} \Delta_{BV} S~=~-\Delta_{SW} S, \qquad |S|~=~0,$

bei Anwendung auf die Aktion $S$ , was Grassmann-gleich ist $|S|=0$ .

III) Die Quantum Master Equation (QME) lautet in Lit. 2

\begin{matrix} (16a) & \frac{1}{2} (S, S) = ich ℏ Δ_{B v} S, \end{matrix}

$\tag{16a} \frac{1}{2}(S,S)~=~i\hbar\Delta_{BV} S,$

während die QME in Ref. 1 liest

\begin{matrix} (15.9.35) & \frac{1}{2} (S, S) = ich ℏ Δ_{S W} S . \end{matrix}

$\tag{15.9.35} \frac{1}{2}(S,S)~=~i\hbar\Delta_{SW} S.$

Also hat OP Recht. Gl. (15.9.34) und (15.9.35) widersprechen sich gegenseitig. Es gibt ein falsches Vorzeichen in Ref. 1 in beiden Gl. (15.9.34) oder Gl. (15.9.35).

Verweise:

S. Weinberg, Die Quantentheorie der Felder, Bd. 2, 1996.
IA Batalin und GA Vilkovisky, Eichalgebra und Quantisierung, Phys. Lette. B 102 (1981) 27–31.

Vielen Dank. Es ist sehr hilfreich. Ich habe auch die Ref gelesen. 2, aber das habe ich falsch verstanden $\delta_L$ in Ref. 1 ist das gleiche wie die $\delta_R$ in Ref. 2.
Ich habe noch eine Frage. Warum definieren wir $\delta_L$ als Aktion von links? Dies steht im Gegensatz zur Definition dieser Wikipedia-Seite, wo $f \stackrel{\leftarrow }{\partial }_x g = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g$ .
Wie immer haben unterschiedliche Autoren unterschiedliche Konventionen. Es gibt unterschiedliche Konventionen für linke und rechte Ableitungen. Ebenso gibt es unterschiedliche Konventionen für linke und rechte Gruppenaktionen und so weiter. Die von Ihnen erwähnte Wikipedia-Seite ist in ihrem derzeitigen Zustand nicht vertrauenswürdig. Ich könnte es irgendwann in der Zukunft verbessern.

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