Skalar- und Vektorpotential

Das Vektorpotential hat eine Divergenz von Null; Wir können eine gewisse Intuition gewinnen, indem wir die vom Divergenzsatz geforderte Geometrie betrachten : Das Volumenintegral der Divergenz des Vektorpotentials ist für jedes Volumen Null, daher ist der gesamte Nettofluss durch jede Oberfläche Null.

Angesichts Ihrer spezifischen Bedingungen können Sie sich also geometrische Grenzen vorstellen und diese Flussregel anwenden. Dies gibt zusammen mit den anderen Bedingungen einen Einblick in die Situation.

Der nächste Schritt besteht darin, zu überlegen, wie die Kräuselung des Vektorpotentials zum Magnetfeld wird.

Zunächst einmal interessieren wir uns grundsätzlich für E & B . Aber im Wesentlichen läuft es darauf hinaus, dass nur E und B physikalisch messbar sind und so$\phi$und A werden hauptsächlich nur als mathematische Konstrukte betrachtet, aber das stimmt nicht immer - sie können konzeptualisiert werden.

Es tut mir leid, dass ich Ihnen keinen unmittelbaren physikalischen Einblick geben kann, aber ich kann nur zuerst über die Mathematik erklären und dann zeigen, was es bedeutet.

Durch das Helmholtz-Theorem, das eigentlich eher ein mathematisches Konstrukt als eine physikalische Erkenntnis ist, zeigt sich, dass wir E & B als eine Kombination aus einem Vektorpotential und einem skalaren Potential umschreiben können.

Der Satz besagt, dass jedes Vektorfeld (das E & B sind) geschrieben werden kann als:

Also können wir E und B umschreiben als

Aber wir wissen, dass in elektrostatischen Situationen die Kräuselung des E- Feldes Null ist. In diesem Fall ist das elektrische Feld konservativ und wird nur durch den Gradienten des Potentials bestimmt. So,

Die Tatsache, dass B =$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}$ist ein bisschen mehr beteiligt. Wir wissen, dass es keine magnetischen Monopole gibt, also kann es keine Senken oder Quellen geben

Es gibt auch einen zweiten Teil des Helmoltz-Theorems, der das gibt

Und

Das können wir jetzt sehen$\phi(\mathbf{r})$muss Null sein. Was bedeutet, dass

Durch die Zusammenarbeit mit$\phi$und A. Es kann unsere mathematischen Konstrukte erheblich vereinfachen und es uns leicht machen, die E- und B- Felder zu berechnen. Ich kann Sie nicht sofort davon überzeugen, aber hoffentlich können Sie sehen, dass die obigen Ausdrücke einfacher aussehen als beispielsweise das Gesetz von Biot Savart.

Das Minuszeichen in unserem Ausdruck für E spiegelt die Tatsache wider, dass sich positive Ladungen von hohem Potential zu niedrigem Potential bewegen, also in die Richtung, die dem steilsten Anstieg der Potentialfunktion entgegengesetzt ist. Das ist rein konventionell. Weiter wissen wir nun, dass das E- Feld konservativ ist. Sie können jeden Weg von a nach b nehmen und der Wert des folgenden Integrals ist derselbe:

mit O als der Stelle, an der wir sagen, dass Potenzial als 0 angenommen wird. Dies könnte zu einiger Verwirrung führen, da wir keine Route definieren, aber da das E- Feld konservativ ist, spielt es keine Rolle. Wir können den Nullpunkt platzieren, wo immer wir wollen – wir können sogar eine Konstante hinzufügen, weil uns nur die Ableitung interessiert, weil das E- Feld das einzige ist, was physikalisch messbar ist.

In den meisten elektrostatischen Situationen ist es einfacher, das elektrische Potential zu berechnen als das E-Feld direkt. Beachten Sie, dass wir, wenn wir eine bewegliche Ladung haben, ein B- Feld nach dem Maxwell-Ampere-Gesetz haben . Das bedeutet, dass die Kräuselung des E- Feldes nicht mehr Null ist.

Verwechseln Sie elektrisches Potential nicht mit potentieller Energie. Das elektrische Potential hat an jedem Punkt im Raum einen bestimmten Wert, unabhängig davon, welche Ladung Sie dort platzieren, und sein Gradient gibt Ihnen das elektrische Feld (das die Kraft pro Ladungseinheit ist, auch unabhängig von der tatsächlich dort platzierten Ladungsmenge). Punkt). Zur Bestimmung der potentiellen Energie (Herleitung nicht angegeben) U=q$\phi$

Nun also zu Ihrer physikalischen Interpretation für A . Wir wissen, dass wir eine physikalische Interpretation für das Skalarpotential haben können, aber ist A irgendetwas Besonderes?

Für die meisten Zwecke ist es in Ordnung, sich das Vektorpotential als bequemes mathematisches Werkzeug ohne physikalische Bedeutung vorzustellen, aber es hat eine physikalische Interpretation. Durch Inspektion können wir sehen, dass A Impulseinheiten pro Ladung hat, und wir können uns A als den „Impuls pro Ladungseinheit“ vorstellen, der im elektromagnetischen Feld gespeichert ist. Dies ist analog zur potentiellen Energie, aber es ist ein potentieller Impuls.

Darüber hinaus ist das Vektorpotential eine wichtige Größe in vielen Bereichen der modernen Physik (Supraleitung, Aharonov-Bohm-Effekt, Josephson-Kontakte, SQUIDS usw.). Für Studenten der Lagrange-Mechanik ist der kanonische Impuls für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld gegeben durch p = m v + q A . In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik kann A als 4-Vektor geschrieben werden. Als 4-Vektoren transformieren sich diese beiden Größen zwischen Trägheitsreferenzrahmen gemäß den Lorentz-Transformationen. Bis Sie auf diese Situationen stoßen, ist es wahrscheinlich in Ordnung, es als nichts weiter als eine mathematische Annehmlichkeit zu betrachten.

Der${\bf E}$Und${\bf B}$Felder sind wie ein Kraftfeld${\bf F}({\bf x})$- Sie schieben geladene Teilchen physikalisch herum. Die Potentiale sind wie die potentielle Energiefunktion$V({\bf x})$die man erhält, indem man das Kraftfeld bezüglich der Position integriert. So wie Sie rechnen können${\bf F}({\bf x})$indem man den (negativen) Gradienten von nimmt$V({\bf x})$, können Sie berechnen${\bf E}$Und${\bf B}$indem (etwas komplizierter) erste partielle Ableitungen nach Raum und Zeit genommen werden. Genauso verschieben$V({\bf x})$durch eine Gesamtkonstante ändert nichts physikalisch Wichtiges, da die Konstante wegfällt, wenn Sie die Ableitung nehmen, und die E & M-Potentiale enthalten (etwas kompliziertere) mathematische "Stücke", die sich aufheben, wenn Sie die partiellen Ableitungen nehmen, also Sie kann diese Teile frei ändern, ohne die physikalisch wichtigen zu beeinträchtigen${\bf E}$Und${\bf B}$Felder.