Thema für ein Wahlfach Mathematik in der Oberstufe?

Ich bin in der VR China aufgewachsen und war ziemlich enttäuscht von der voruniversitären Ausbildung in Mathematik. Ich freue mich sehr, dass ein Pädagoge wie Sie hier eine solche Frage stellt.

Kombinatorik, Graphentheorie und Zahlentheorie sind meiner Meinung nach geeignete Bereiche, aus denen Sie Materialien auswählen können. Durch die Auswahl einiger Themen, die sich auf "große Theoreme" wie den letzten Satz von Fermat beziehen (natürlich auf relativ naive Weise), können junge Studenten mürrisch angezogen werden.

Ich denke, dies könnte Thema für Thema erfolgen, anstatt sich nur auf ein kleines Feld zu beschränken. Ich glaube, dass ein großes Problem in der mathematischen Ausbildung in China darin besteht, dass es zu viele Beschränkungen für verschiedene Zweige gibt. Es gibt zu viele Fragen wie "Zu welchem ​​Bereich gehört dieses Problem?"

Empfehlenswert ist "Abzüge aus dem Buch" von Martin Aigner und Günter M. Ziegler (mit Illustrationen von Karl H. Hofmann). Obwohl dies als Buch für Hochschulabsolventen geschrieben ist. Man kann Materialien finden, die für Gymnasiasten geeignet sind. Noch wichtiger ist, dass es den Geschmack der Schüler in moderner Mathematik erheblich verbessern kann.

Abgesehen von den bereits erwähnten Themen (meist solche, die aus der Kombinatorik stammen, die auch Schülern ohne fortgeschrittenen mathematischen Hintergrund relativ leicht erklärt werden können und auch viele interessante Rätsel enthalten, die ihnen zum Lösen gegeben werden können), würde ich einige grundlegende vorschlagen Wahrscheinlichkeit .

Sie könnten verschiedene kontraintuitive Alltagsprobleme erklären, wie das Monty-Hall-Problem oder das Problem „Der an einem Dienstag geborene Junge“ , und dieses Thema erfordert nicht viel fortgeschrittenen Hintergrund.

Vielleicht eine nicht-euklidische Geometrie? Was macht mehr Spaß, als den Boden unter allem wegzuziehen, was die Schüler glaubten , über Geometrie zu wissen? :)

Marta Sveds Journey into Geometries bietet eine lesbare (wenn auch teure) Sicht auf das Thema im Stil (und mit den Charakteren) von Lewis Carrolls „Alice im Wunderland“. Als ich das Buch vor vielen Jahren zum ersten Mal durchlas, wollte ich es mit Studenten teilen, obwohl ich nicht die Gelegenheit dazu hatte. Das ganze Buch mag für Kinder allein zu viel sein, aber durch einen Lehrer gefiltert, können einige Begriffe (wie die "Macht eines Punktes" relativ zu einem Kreis) ziemlich zugänglich sein, soweit ich mich erinnere ... aber meine Erinnerung an die Details sind ziemlich lückenhaft. (Ich scheine mein Exemplar des Buches verloren zu haben.)

Ich glaube, es gibt hyperbolische Add-Ons für Software wie Geometers Sketchpad, die das Spielen mit Kreisumkehrungen und dergleichen erleichtern, falls dies eine Option ist. (Zweifellos gibt es auch viele Applets online.)

Wenn die Schüler tatsächlich sehr gut in (euklidischer) Trigonometrie sind, finden sie möglicherweise nicht-euklidische Trigonometrie interessant. Nicht zuletzt können die Schüler die Bequemlichkeit unseres (lokal) euklidischen Universums und seine unkomplizierte Methode zur Berechnung der Länge der Hypotenuse schätzen lernen. (Andererseits ist es schwer, die Formel für die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks zu schlagen.)

Und viele Escher-Holzschnitte sind faszinierende Visualisierungen von (Annäherungen an) Mosaiken der hyperbolischen Ebene.

Im Allgemeinen bin ich für jede Bereicherungsübung, die verhindert, dass Geometrie "diese seltsame Klasse zwischen Algebra I und Algebra II" ist, die die Schüler dazu neigen, alles zu vergessen.

Ich bin mir nicht sicher, wie gut das in der Praxis funktionieren würde, aber ich war schon immer daran interessiert, mathematische Strenge durch einen Kurs in abstrakter Algebra statt durch Analyse einzuführen. Als Motivationsfrage könnte man zum Beispiel die Quadratur des Kreises haben, was allerdings ziemlich schnell viel Theorie erfordern würde. (Es könnte auch im Westen angemessener sein, wo die Quadratur des Kreises und die Dreiteilung des Winkels seit der Antike von Interesse sind.)

Ich denke, dass es langfristig am wichtigsten ist, ihre mathematischen Muskeln zu stimulieren.

Wenn Sie ihnen mathematische Strenge zeigen wollen (was eine gute Idee ist), schlage ich etwas Aussagenkalkül oder Prädikatenkalkül vor. Wenn Sie möchten, können Sie einige Rätsel mithilfe von Wahrheitstabellen oder durch Inferenzregeln lösen (ein Beispiel in meiner Antwort hier: Implikation von drei Aussagen )

Sie können die Wichtigkeit von Strenge zeigen, indem Sie Beispiele wie „Alle Pferde sind schwarz“ oder „Für jede natürliche Zahl$n$es hält$n=n+1$", oder finden Sie ein anderes Beispiel, das für sie einfach ist.

Vielleicht können Sie ihnen einige unendliche Strukturen zeigen und wie sich die Unendlichkeit anders verhält, beginnen Sie mit Hilberts Hotel und zeigen Sie ihnen dann, wie Sie alle ganzen Zahlen in natürliche Zahlen "komprimieren" oder jeder rationalen Zahl eine eindeutige natürliche Zahl zuweisen können - mit Platz für Ersatzteil.

Was auch immer Sie tun, ich denke, das Wichtigste ist, nicht zu tief in technische Details und Beweise einzudringen und ein wenig von dem Geheimnis zu bewahren, damit sie selbst danach suchen.

Nachtrag :
Ich habe mich gerade an etwas erinnert, das Sie vielleicht hilfreich finden könnten, https://mathoverflow.net/questions/47214/how-to-present-mathematics-to-non-mathematicians , dieser MO-Thread, der von Ihnen eröffnet wurde ganz andere Situation (ich hielt eine 10-minütige Präsentation für Nicht-Mathematiker), aber es hat eine schöne Liste von Themen, die Sie in Ihrer Zeit weiter analysieren und dekonstruieren können.

Als mathematisch veranlagter Schüler, der derzeit in der High School ist (obwohl nicht in China, daher ist meine Meinung vielleicht weniger relevant, als es den Anschein hat), würde ich zwei Fächer vorschlagen, die grundlegende Logik und Argumentation sind (normalerweise in den USA als Teil von Geometrie, wodurch es langweilig und weniger relevant für die Argumentation im "echten Leben" erscheint) und grundlegende Wahrscheinlichkeit.

Wie man diese "sexy" macht, weiß ich ehrlich gesagt nicht für den ersten. Vielleicht könntest du es mit einigen Themen aus der Informatik kombinieren oder konkreter Computer programmieren.

Wahrscheinlichkeit ist relativ leicht zu motivieren, da sie in sehr vielen Bereichen außerhalb der Mathematik Anwendung findet.

Es könnte hilfreich für Sie sein, sich einige der Lehrbücher zu besorgen, die ich als „Mathematik der freien Künste“ bezeichnet habe – mehr oder weniger diskrete Mathematikbücher, die sich an College-Studenten richten, die nicht beabsichtigen, viel weiter in Mathematik zu studieren. Die beiden, die ich spontan vorschlagen würde, sind COMAPs For All Practical Purposes (veröffentlicht von WH Freeman) und The Heart of Mathematics von Ed Burger (veröffentlicht von Wiley). Diese und ähnliche Bücher haben eine Reihe von Themen, die so präsentiert werden, dass sie Schüler mit unterschiedlichem Hintergrund ansprechen. Viele dieser Themen sind normalerweise nicht in den Lehrplänen der US-Sekundarschulen enthalten und können leicht von einem Niveau der „geisteswissenschaftlichen Mathematik“ auf eine strengere Mathematik im Hauptfachstil erweitert werden (z. B. Wahltheorie, faire Teilung).

Elementare Zahlentheorie. Dieses Fach ist an sich schon interessant und wird den Schülern beibringen, wie man Beweise schreibt, was eine wesentliche Fähigkeit ist, wenn sie Mathematik oder angrenzende Fächer an der Universität studieren wollen. Es scheint, dass viele Schüler davon abgehalten werden, Mathematik an der Universität zu studieren, weil die Infinitesimalrechnung in der High School trocken präsentiert wird, also sollten Sie sich für ein Fach wie Zahlentheorie entscheiden, das an sich schon interessant ist.