Über die Ableitung des Hamiltonoperators eines Teilchens in der Quantenmechanik

Die Hamilton-Funktion für ein Massenteilchen$m$entlang der bewegen$x$-Achse, unterliegen einer potentiellen Energie$V(x)$, lautet die Hamilton-Funktion:

$$H = \frac{p_x ^2}{2m} + V(x).$$

Mein Buch sagt das

$$\frac{\partial{H}}{dx} = \frac{\partial{V}}{\partial x}.$$

Der Grund dafür ist, dass der Impulsterm nicht explizit davon abhängt$x$. Allerdings verstehe ich nicht warum das so ist. Sollte die Ableitung des Hamilton-Operators nicht die Ableitung des Impulses enthalten, da der Impuls eines Teilchens von seiner Position abhängen könnte?