Warum implizieren die Antikommutierungsbeziehungen die Fermi-Dirac-Statistik (Pauli-Ausschlussprinzip) für die Feldquanten?

Nehmen wir es mal einfach an$\psi(a)$erzeugt ein Teilchen im Zustand$a$(dh, gekennzeichnet durch eine Sammlung von Quantenzahlen, die wir nennen$a$),

$$\psi(a)|0\rangle=|a\rangle .$$

Und$\psi(b)$tut das gleiche für$b$. Wir können einen Zustand mit zwei Teilchen erzeugen:

$$\psi(b)\psi(a)|0\rangle = \psi(b)|a\rangle = |a;b\rangle$$

$$\psi(a)\psi(b)|0\rangle = \psi(a)|b\rangle = |b;a\rangle$$

Seit$\psi$ist antikommutativ,

$$\psi(a)\psi(b) + \psi(b)\psi(a) = 0 .$$

So,

$$|a;b\rangle = -|b;a\rangle,$$

Das heißt, der Zustand ist unter Teilchenänderung antisymmetrisch, er hat eine fermionische Statistik.

Insbesondere wenn$b=a$,

$$\psi(a)\psi(a) + \psi(a)\psi(a) = 2\psi(a)\psi(a) = 0$$

So,

$$|a;a\rangle=0 .$$

Das ist Paulis Ausschlussprinzip.