Warum ist der Hodge Dual so wichtig?

Es scheint mir unnatürlich, dass es sich so oft lohnt, physische Objekte durch ihre Hodge-Duale zu ersetzen. Wenn zum Beispiel das magnetische Feld richtig als eine 2-Form und das elektrische Feld als eine 1-Form betrachtet wird, warum erscheinen sie dann in Ampere's und Gauß' als Gesetze wie ihre Duale, dh

∫ ∂ M ⋆ B 2 = ∫ ∫ M ( 4 π j 2 + ∂ ⋆ E 1 ∂ t )

∫ ∫ ∂ U ⋆ E 1 = 4 π Q e n c

Ebenso wird der Drehimpuls fast überall als Pseudovektor statt als 2-Form betrachtet. Haben diese Gesetze Formulierungen, die keine Hodge-Duale verwenden? Ist das nur der Einfachheit halber, da Tensoren in der Physik-Community weniger geläufig sind als Vektoren?

Ich meinte, dass Tensoren weniger bekannt sind als Vektoren, nicht Differentialformen. Die Leute denken also eher an das Magnetfeld als seinen zugehörigen Pseudovektor als an einen antisymmetrischen Tensor.
OP: "Haben diese Gesetze Formulierungen, die keine Hodge-Duale verwenden?" - Haben Sie Wikipedia überprüft? Die Gesetze von Gauß und Ampere können in Bezug auf die geschrieben werden E und B Felder mit Vektorrechnung.
@JamalS Ja, aber die Behandlung des Magnetfelds als Vektor verwendet implizit sein Dual. Ich suche etwas, das die Amperesche Gesetzbehandlung ausdrückt B als 2-Form.
Ich habe ein gutes Bild von was B → und E → physikalisch bedeuten und welche Wirkung sie auf klassische geladene Teilchen haben. Ich habe noch kein gutes Bild von einer Zweierform. Ich würde gerne, aber ich denke, ich muss warten, bis ich GR gemacht habe, um das zu bekommen.
Vielleicht gefallen Ihnen die Seiten 136-138 von supermath.info/ma430.pdf , dort untersuche ich ein 5-dimensionales E und M eines Spielzeugs, bei dem der Unterschied zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld ausgeprägter ist.

Antworten (1)

In der Sprache der Differentialformen in der Raumzeit die Feldstärke 2 -bilden F = E ∧ d σ + B gibt das Gaußsche Gesetz für Magnetismus und Faraday-Induktion an:

d F = 0 .
Inzwischen die elektromagnetische Anregung 2 -bilden H = − H ∧ d σ + D bietet eine natürliche Formulierung des Gaußschen Gesetzes und des Ampèreschen Kreisgesetzes:
d H = J ,
wo J ist die elektrische Strom-3-Form.

Wenn zum Beispiel das magnetische Feld richtig als 2-Form und das elektrische Feld als 1-Form betrachtet wird, warum tauchen sie dann in den Ampere- und Gauß-Gesetzen als ihre Duale auf, dh ...

Weil es eine qualitativ andere Rolle ist: F Eine geschlossene Form zu sein, ist eine notwendige Eigenschaft, um die Erhaltung des magnetischen Flusses und die Existenz eines Potentials sicherzustellen 1 -bilden EIN wofür F = d EIN . Aber H , anstelle der Erhaltung des magnetischen Flusses, drückt die Erhaltung der Ladung aus, mit H als "Potenzial" für den elektrischen Strom fungieren J .

Natürlich, wenn Sie das wissen H ∝ ⋆ F , dann kannst du das eliminieren ( D , H ) Anregungsfelder setzen alles in Bezug auf ( E , B ) nur. Oder umgekehrt, wenn Sie es wünschen. Dies führt natürlich mindestens ein implizites Hodge-Dual in die Gleichungen ein, wie Sie es oben getan haben. Dadurch wird jedoch der grundsätzlich metrikfreie Charakter von Maxwells Gleichungen verschleiert: Die einzige Stelle, an der die Metrik erscheint, ist im Hodge-Dual. Stattdessen kann man sich das Hodge-Dual als eine einfache konstitutive Beziehung für den freien Raum vorstellen, wobei das Vakuum seine eigene Bedeutung hat D und H Felder.

In dieser Art von Präsentation ist das Auftreten des Hodge-Duals natürlich und notwendig, um den Elektromagnetismus in eine vollständig vorhersagende Theorie zu verwandeln – die Metrik muss schließlich auftauchen , aber Maxwells Gleichungen selbst sind metrikfrei!

Es gibt andere mögliche Beziehungen zwischen H und F unabhängig von Maxwells Gleichungen an sich, was zu alternativen Theorien des Elektromagnetismus führt, wie der Born-Infeld-Theorie und der Heisenberg-Euler-Vakuumpolarisation usw. Im Allgemeinen sind die Anforderungen an die Beziehung lokal und linear gegeben 36 unabhängige Komponenten, die fünfzehn sind dissipativ und tragen nicht zu Lagrange ("schief") bei und 1 das zu Lagrange beiträgt, aber die Lichtausbreitung oder elektromagnetische Stressenergie (ein geisterhaftes "Axion") nicht beeinflusst.

Für die differenzielle Darstellung des Elektromagnetismus, die die logisch unabhängigen Rollen betont F und H , ein guter Ausgangspunkt ist Hehl und Obukhovs arXiv: physical/0005084 , da es ausschließlich in funktioniert 1 + 3 Zerlegung und entspricht daher viel klarer der gebräuchlicheren Darstellung des Elektromagnetismus in Begriffen von ( E , B ) und ( D , H ) . Sie haben auch das Buch dazu: Foundations of Classical Electrodynamics , obwohl es anspruchsvoller ist.

Darüber hinaus enthält MTWs Gravitation viele schöne Illustrationen dessen, was sein würde F und H , obwohl sie in der MTW-Darstellung dem "Faraday-Tensor" bzw. dem "Maxwell-Tensor" entsprechen und sich durch einen Umrechnungsfaktor unterscheiden.

Vielen Dank für diese fantastische Antwort! Nach dem, was Sie hier gesagt haben, scheint die Antwort auf die Titelfrage zu sein, dass das Hodge-Dual nicht unbedingt erforderlich ist, aber oft bequem ist und eine nützliche Möglichkeit sein kann, zusätzliche Informationen, z. B. über die Metrik, aufzunehmen.
@ZachMcDargh: Ja und nein. Es wird für die Maxwell-Gleichungen nicht benötigt, aber die darin enthaltenen Informationen sind notwendig, damit EM vollständig vorhersagbar ist. H ∝ ⋆ F von Standard-EM betrifft ( E , B ) mit ( D , H ) , die notwendig ist und als wichtiger Nebeneffekt den Lichtkegel mit der kausalen Struktur der Raumzeit verbindet. In H&Os Buch untersuchen sie einen General H a b ∝ κ a b c d F c d und einige der Annahmen auf κ für die es den Lichtkegel überhaupt gibt und für die man daraus bis auf einen konformen Faktor welche Metrik ableiten könnte.
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