Was ist eine stehende Welle?

Eine Animation sagt mehr als eine Million Worte:

Dies wird eine rein mathematische Behandlung sein. Es muss mit etwas praktischem Herumspielen kombiniert werden, um es wirklich zu "verstehen".

---

Wandernde Welle

Beginnen wir mit der Beschreibung einer harmonischen Wanderwelle in einer Dimension. Hier bedeutet „harmonisch“, dass die mathematische Form der Welle sowohl zeitlich als auch räumlich sinusförmig ist.

Der Konkretheit halber verwenden wir die Rede von einer Art transversaler Materieverschiebungswelle. Eine Welle an einer Schnur vielleicht.

Der mathematische Ausdruck für die Verschiebung eines Fadenstücks aus seiner Ruhelage ist

$$y(x,t) = A \cos(k x - \omega t) \,.$$ Hier $k = 2 \pi/ \lambda$ist die Wellenzahl, $\lambda$ist die Wellenlänge, $\omega = 2\pi/T$ist die Winkelfrequenz und $T$ist die Periode. Die meisten Menschen finden es einfacher, über Wellenlänge und Periode nachzudenken, daher ist es für Sie vielleicht bequemer, darüber nachzudenken $$y(x,t) = A \cos\left(\frac{2 \pi}{\lambda}x - \frac{2 \pi}{T} t\right) \,.$$ In jedem Fall repräsentiert dies einen kontinuierlichen sinusförmigen Wellenzug der Amplitude $A$sich mit der Zeit nach rechts bewegen. Ersetze das $-$mit einer $+$im Argument zum Kosinus und die Welle bewegt sich stattdessen nach links.

Die Wellenlänge kann jeden gewünschten Wert haben.

Stehende Welle

Nun betrachten wir die Situation mit zwei solchen Wellenzügen, von denen sich einer in jede Richtung bewegt. Wir bekommen

$$\begin{align*} y(x,t) &= A \cos(k x - \omega t) + A \cos(k x + \omega t) \\ &= A\left[ \cos(kx)\cos(\omega t) + \sin(kx)\sin(\omega t) \right] + A\left[ \cos(kx)\cos(\omega t) - \sin(kx)\sin(\omega t) \right] \\ &= 2A \cos(kx)\cos(\omega t) \end{align*}$$ Die Wellenlänge ist dieselbe und die Periode ist dieselbe, aber das Verhalten ist deutlich unterschiedlich. Die kombinierte räumliche und zeitliche Abhängigkeit, die wir zuvor gesehen haben, wurde in zwei separate Abhängigkeiten aufgeteilt. Die Unebenheiten auf den Kosinuskurven bewegen sich nicht mehr mit der Zeit, sondern bleiben genau dort, wo sie sind, und ihre Amplitude steigt und fällt.

Das ist eine stehende Welle.

Die Wellenlänge ist immer noch willkürlich.

Um ganz allgemein zu sein, müssen wir die Mathematik mit einer willkürlichen Phasenverschiebung bearbeiten oder auch einige Sinusterme zulassen, aber diese Komplexität lehrt uns nichts Neues.

Stehende Welle auf engstem Raum

OK. Denken wir an eine Gitarre oder ein anderes Saiteninstrument. Die Tonhöhe hängt mit der Frequenz zusammen$f = 1/T$, und wenn ich eine bestimmte Saite anschlage, erhalte ich eine bestimmte Note anstelle einer beliebigen Frequenz. Wenn ich mich ärgere und die Saite anschlage, bekomme ich außerdem eine andere (höhere) Note.

Es muss etwas daran liegen, die Enden der Saite in Ruhe zu halten, das die Saite zwingt, eine bestimmte Frequenz (oder vielmehr eine Reihe von Frequenzen) auszuwählen.

Und das hängt mit der Welle zusammen, die Wellen reflektieren. Wenn Sie einen einzelnen Impuls an einer Stelle, an der sie starr befestigt ist, an einer Taunt-Schnur entlang senden, wird der Wellenimpuls verkehrt herum an Sie zurückgesendet . Es wird gespiegelt und invertiert. Wenn Sie eine Saite zupfen, die Impulse in beide Richtungen sendet und diese reflektiert werden, kreuzen Sie die Saite, die erneut reflektiert wird, und so weiter. Das System ist nicht verlustfrei, sodass sich die Energie mit der Zeit auflöst, aber für eine Weile gibt es eine Reihe chaotischer Schwingungen auf der Saite. Die letzten sind diejenigen, bei denen die räumliche Welle zwischen die Enden passt, mit einem Knoten (Null) an beiden Enden.

Das Bild zeigt die drei Modi mit der niedrigsten Frequenz. Die roten Linien repräsentieren den Zustand des Systems zum Zeitpunkt Null und die blaue Linie den Zustand nach einer halben Periode. Die grauen Linien stellen andere Zeiten dar. (Bild original an den Autor.)

Nach kurzer Zeit bewegt sich die Saite in einem Muster, das aus stehenden Wellen (diese umgekehrten Reflexionen, rechts) besteht, deren Wellenlänge genau passt. Die Gleichung ist$L = \frac{2n-1}{2}\lambda$wo$L$ist die Länge zwischen den festen Enden und$n$eine Zählnummer (1, 2, 3 ...).

Wenn du die Gitarre ärgerst,$L$kleiner wird, muss die zugehörige Wellenlänge ebenfalls, aber die Wellenlänge hängt mit der Frequenz durch die Geschwindigkeit zusammen$c$der Wellenausbreitung auf der Saite$\lambda f = c$, wenn also die Wellenlänge sinkt, steigt die Frequenz und Sie hören eine höhere Tonhöhe.

Elektron in einem Atom als stehende Welle

Im (sehr falschen) Bohr-Modell wird das Elektron so vorgestellt, dass es einer Kreisbahn folgt. In diesem Fall müsste eine ganzzahlige Anzahl von Wellenlängen um den Kreis passen, damit das Elektron nicht mit sich selbst interferiert.

Das ist kein großartiges Modell, aber es ist mehr oder weniger das Beste, was Sie tun können, bis Sie bereit sind, dreidimensionale stehende Wellen in Kugelkoordinaten zu bewältigen, also werde ich Sie hier verlassen.

In Wirklichkeit sind die Elektronen keine kleinen Kugeln und sie folgen keinem Pfad (kreisförmig oder auf andere Weise), und wir nennen die Zustände, die sie besetzen, „Orbitale“ und nicht „Umlaufbahnen“, teilweise um uns an diese Unterschiede zu erinnern.

Wie hängt eine stehende Welle mit der Atomumlaufbahn zusammen (Nach meinem Verständnis ist die Atomumlaufbahn sowohl eine mathematische Funktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass sich ein Elektron an einem bestimmten Ort befindet, als auch das Abbild dieser Funktion in Bezug auf die Realität Raum, dh das eigentliche 3-dimensionale Volumen um den Kern herum, das ein bestimmtes Elektron "Zuhause" nennt).

Wenn Sie neu in der Quantenmechanik sind, sind die Wahrscheinlichkeitsdichten eines Elektrons in einem Atom (z. B. einem Wasserstoffatom) nicht der beste Ausgangspunkt für Ihre Untersuchung.

Ein viel einfacheres, aber ziemlich analoges und aufschlussreiches System ist das Teilchen (z. B. ein Elektron) in einer 1D-Atombox . Alle Informationen, die wir über dieses Teilchen haben können, sind in seiner Wellenfunktion enthalten $\Psi$, die man durch Lösen der entsprechenden Schrödinger-Gleichung erhält.

Besuchen Sie den Link, um die Ähnlichkeit zwischen den Wellenfunktionen zu sehen ($n=1,2,3,...$) und die in der Antwort von 'heather' dargestellten stehenden Wellen.

Vorausgesetzt, die Wellenfunktion ist reell,$\Psi^2(x)$stellt die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung des Partikels über den Bereich der Box dar.

Fürs Erste ist es besser, die oben beschriebene Ähnlichkeit eher als Analogie denn als Identität zu sehen : Wellenfunktionen gebundener Teilchen sind nicht genau stehende Materiewellen.

Eine stehende Welle besteht im Grunde aus zwei entgegengesetzten Wellen gleicher Amplitude, wie im folgenden Diagramm dargestellt (wobei n eine positive ganze Zahl ist):

Sie können dies deutlicher sehen, wenn Sie sich die obere Zeile mit n = 3 ansehen und ihr folgen, während sie nach unten, oben und unten geht. Das ist Welle eins. Wenn Sie sich dann die untere Linie im selben Fall ansehen, in dem es nach oben, unten und oben geht, ist das die entgegengesetzte Welle.

Stehende Wellen können bei Licht, Röntgenstrahlen, Wasserwellen, Schallwellen und seismischen Wellen auftreten.

Hier erfahren Sie mehr über stehende Wellen .

Den Bonusteil Ihrer Frage finden Sie in den Antworten zu dieser Frage auf der Physics.SE-Website.

Hoffe das hilft!