Was ist kanonisches Momentum?

Was bedeutet der kanonische Impuls p = m v + e EIN bedeuten? Ist es nur der Impuls , der elektromagnetische Effekte berücksichtigt?

Suchen Sie zur Verdeutlichung nach körperlicher Intuition? Zum Beispiel sagt Ihnen die Größe des standardmäßigen, nicht-relativistischen Impulses eines Teilchens „wie schwierig es wäre, das Teilchen zu stoppen“ in einem Sinne, der mit dem Begriff des Impulses präzisiert werden kann. Suchen Sie etwas Analoges dazu, aber nach kanonischem Impuls im Gegensatz zu beispielsweise einer Diskussion darüber, wie er sich mathematisch aus einem Lagrange für die Elektrodynamik ergibt?
Ist es intuitiv die gesamte Dynamik eines Systems? Magnetfelder haben also einen Impuls?

Antworten (6)

Das kanonische Momentum p ist nur eine konjugierte Positionsvariable in der klassischen Mechanik, in der wir die Beziehung haben p = ∂ L ∂ r ˙ . Beim Übergang zur Quantenmechanik substituieren wir p mit einem Betreiber − ich ℏ ∇ im Hamiltonian; ebenso substituieren wir r durch ich ℏ ∇ p in Impulsdarstellung.

Der kinetische Impuls wird "kinetisch" genannt, weil er in der klassischen Mechanik die Geschwindigkeit des Teilchens darstellt. Wenn wir über die quantenmechanischen Erwartungswerte sprechen, kinetischer Impuls P → befriedigen soll

d ⟨ r → ⟩ d t = ⟨ P → ⟩ m .

Ein weiterer wichtiger Punkt bei ihnen ist, dass der kinetische Impuls eine eichinvariante Größe ist, während der kanonische Impuls explizit von der Wahl des Eichers abhängt.

Weder die kanonische p ^ = − ich ℏ ∇ noch der kinetische Impuls P ^ = − ich ℏ ∇ − q EIN → ist im allgemeinen Fall eine Erhaltungsgröße.

Betrachten Sie den Hamilton-Operator in einem elektromagnetischen Feld:

H = 1 2 m ( p ^ − q EIN → ) 2 + q φ .
Das kann man überprüfen
d ⟨ P → ⟩ d t = q ⟨ E → ⟩ + q 2 m ⟨ ( p ^ × B → − B → × p ^ ) ⟩ − q 2 m ⟨ EIN → × B → ⟩
und
d ⟨ p → ⟩ d t = − q ⟨ ∇ φ ⟩ + q 2 m ∑ j ⟨ ( ∇ EIN j ) p j + p j ( ∇ EIN j ) − 2 q EIN j ∇ EIN j ⟩ ,
wo
E → = ∇ φ − ∂ EIN → / ∂ t
B → = ∇ × EIN → .

Sie können also im Allgemeinen sehen, dass sie nicht konserviert sind. Auch im ganz besonderen Fall, wie @Frederic Brünner betont: EIN → ist positionsunabhängig.

Vergessen Sie also die Konservierung beider, sie werden möglicherweise nur in einigen ganz besonderen Fällen konserviert.

Ich kann nicht glauben, dass dies die erste Antwort ist, die nicht über Naturschutz in irgendeiner Form spricht. Gut!
Zur letzten Änderung: Bei der Quantisierung müssen Sie nicht "ersetzen" p durch ∇ , also nur in einer bestimmten Darstellung. Im Algemeinen, x und p sind gleichberechtigte abstrakte Operatoren, und es kann gezeigt werden, dass es nur "eine" Art gibt , sie auf einem bestimmten Raum darzustellen , und zwar indem man den einen zur Ableitung des anderen macht.
@ACuriousMind Ja, du hast Recht. Wir müssen nicht ersetzen p . Ich bearbeite die Antwort

Stellen Sie sich diese Situation vor:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Zum Zeitpunkt t = 0 haben wir einen unendlich langen geraden Draht mit Strom Null und ein geladenes Teilchen q mit Null Geschwindigkeit.

zum Zeitpunkt t=T machen wir den Strom zu I, also haben wir a B Feld und EIN aufstellen.

während dieses Prozesses, EIN wird von Null bis zu einem gewissen Wert aufgebaut, daher haben wir ein elektrisches Feld induziert E = − ∂ EIN ∂ t

Δ ( m v ) = ∫ F d t = ∫ q E d t = ∫ q − ∂ EIN ∂ t d t

Nehmen wir an, dieser Vorgang verlief sehr schnell, das Teilchen bleibt fast an der gleichen Position, ∂ EIN ∂ t = d EIN d t

dann

Δ ( m v ) = ∫ q − d EIN d t d t = − q ∫ d EIN = − q Δ EIN

Δ ( m v + q EIN ) = 0

m v + q EIN = c Ö n s t a n t

Das ganze Problem beginnt, wenn Sie versuchen, Elektromagnetismus mit dem Lagrange zu machen, weil Sie das Magnetfeld nicht in Form eines Potentials schreiben können. Wir KÖNNEN es jedoch in Form eines Vektorpotentials schreiben EIN → :

B → = ∇ × EIN → .

Es scheint, dass dies nützlich ist und verwendet werden kann, um die entsprechenden Lagrange- und Hamilton-Operatoren abzuleiten, die hier angegeben und überprüft werden .

Es scheint (aus den im Link angegebenen Berechnungen), dass wir unseren Impuls ersetzen müssen, um das Magnetfeld einzubeziehen durch:

p → − q EIN → .

Indem Sie den Impuls durch diesen Begriff ersetzen, können Sie die Lagrangain- und Hamilton-Mechanik (die mit Potentialen arbeiten) für Magnetfelder durchführen (die nicht in Form eines Potentials geschrieben werden können).

Bei elektrischen Feldern kann man sie immer noch mit dem elektronischen Potential einbeziehen.

Ja, es berücksichtigt die Wirkung des Vektorpotentials auf eine sich bewegende Ladung. Aber es spielt auch eine grundlegendere Rolle: Unter der Annahme eines positionsunabhängigen Vektorpotentials ist der kanonische Impuls eine Erhaltungsgröße, während der "normale" (oder kinetische) Impuls (Masse mal Geschwindigkeit) dies nicht ist.

Der kanonische Impuls bleibt nicht erhalten. Erkundigen Sie sich bei der Lagrange-Funktion L = 1 2 m v → 2 − q Φ ( x ) + q v → . EIN → ( x ) und Euler-Lagrange-Gleichungen
Ich nahm ein ortsunabhängiges Vektorpotential an.
Dies bedeutet jedoch ein elektrisches und magnetisches Feld von Null.
Magnetisch ja, aber das elektrische Feld ist nicht unbedingt Null.
Nein, du musst dich entscheiden Φ = Konstant, um einen konservierten kanonischen Impuls zu haben, sodass das elektrische Feld ebenfalls Null ist.
Das elektrische Feld hängt auch von der zeitlichen Ableitung des Vektorpotentials ab, daher verschwindet es nicht, wenn das Skalarpotential auf einen konstanten Wert gesetzt wird.
Aber in Ihrer Logik ist das Vektorpotential bereits konstant, also ist das elektrische Feld schließlich Null.
Nein. Ich habe festgestellt, dass das Vektorpotential ortsunabhängig und nicht zeitunabhängig ist.
Richtig für die letzte Bemerkung, bitte präzisieren Sie Ihre Antwort, sonst ist sie nicht korrekt.

In der Lagrange-Mechanik ist "Impuls" nur eine Erhaltungsgröße und die Ableitung der Lagrange-Funktion in Bezug auf die Geschwindigkeit ( d L d q ˙ ). Für den Fall einer Punktladung, die durch ein einheitliches Magnetfeld wandert B , p = m v ist einfach nicht mehr erhalten, da sich die Ladung aufgrund des Magnetfelds auf einer kreisförmigen Bahn bewegt, wodurch ihr Impuls ständig die Richtung ändert. Eine Größe, die als kanonischer Impuls bekannt ist, P = m v + e EIN wird schließlich während der gesamten Flugbahn des geladenen Teilchens konserviert. (Setzt man die Gesamtzeitableitung des kanonischen Impulses gleich Null, ergibt sich einfach m a = e v × B , was nur der Ausdruck für magnetische Kraft ist.) Kurz gesagt, der kanonische Impuls ist einfach "die Größe, die bei elektromagnetischen Wechselwirkungen erhalten bleibt", während der kinetische Impuls nur das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist.

Es ist nicht wahr , dass der kanonische Impuls „bei elektromagnetischen Wechselwirkungen erhalten bleibt“. Es erfüllt die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung, d d t d L d q ˙ − d L d q . Zum Beispiel in einem homogenen Magnetfeld in der Landau-Spur, EIN = − B j x ^ und der Lagrange ist L = 1 2 m v 2 − e Φ ( x ) + e v . EIN , Also d P j d t = e x ˙ B ≠ 0 .
Ted, macht deine Kritik die Antwort ungültig? Wenn ja, was ist die richtige Antwort auf die ursprüngliche Frage?
@JamesBowery Siehe meine Antwort, ich denke auch, dass diese Antwort problematisch ist.
Das kanonische Momentum wird per Definition beibehalten und bricht nur, wenn Sie nicht alles in Ihre Lagrange-Funktion aufgenommen haben. Das Beispiel von @TedPudlik enthält nicht die Dynamik von EIN , was in diesem Fall den Satz von Noether bricht. Natürlich bleibt auch der Bewegungsimpuls erhalten, da er sich vom kanonischen Impuls nur durch eine Divergenz unterscheidet.
Ja, die Kritik macht den Teil meiner Antwort ungültig, in dem ich sage, dass die kanonische Dynamik erhalten bleibt. Es wird nur konserviert, wenn d L d q = 0 , aber EIN → ist eine Funktion der Koordinaten q

Der kanonische (Gesamt-)Impuls ist die Summe aus dem kinetischen (mechanischen) Impuls und dem potentiellen Impuls. Potenzieller Impuls tritt nur auf, wenn die potentielle Energie explizit von der Geschwindigkeit abhängt.

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