Wie man eine Formel in der Modallogik bewertet (Wahrheitswerte zuweist) (Kripke-Modell)

Ein absoluter Neuling hier, und darüber verärgert. Ich kann natürlichsprachliche Aussagen in Formeln der Modallogik übersetzen, aber ihre Bewertung im Kripke-Modell scheint schwer fassbar, da ich einfach nicht sicher bin, wie ich die Theorie in die Praxis umsetzen soll.

Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären , wie man bei der Formel (p & q -> (p -> q)) -> [](p -> q) vorgeht, um Wahrheitswerte zuzuweisen jede Variable in jeder Welt in einem Kripke-Modell?

Vielen Dank

Antworten (1)

Kripke-Modelle können verwendet werden, um zu beweisen, dass eine Formel nicht gültig ist .

Um Ihr Beispiel noch einmal zu überarbeiten, bedeutet dies, zu zeigen, dass der Antezedenz: (p & q → (p → q)) in w (der „eigentlichen“ Welt) wahr ist und der Konsequnr □(p → q) nicht, dh (p → q) ist falsch in einer Welt w' zugänglich von w (dh so dass wRw' ).

Wenn q in w falsch ist (geschrieben: w ⊮ q ), haben wir, dass p & q in w falsch ist , und somit ist (p & q → (p → q)) wahr.

Und wenn p wahr ist, haben wir, dass (p → q) in w falsch ist .

Wenn die "Zugänglichkeits" -Relation R reflexiv ist , dh wRw , haben wir, dass (p → q) nicht in jedem w' wahr ist, so dass wRw' , und dies impliziert, dass □(p → q) falsch ist.

Wenn Sie stattdessen den Wahrheitswert einer Formel auf einer bestimmten Welt "bewerten" müssen, mit einer Zuordnung von Wahrheitswerten zu Atomen , z

w ⊩ {p,q}

in diesem Fall wenden wir einfach die semantischen Spezifikationen an.

Offensichtlich ist w ⊩ p & q und w ⊩ p → q , und somit w ⊩ (p & q → (p → q)) , und so weiter.

Die Erreichbarkeitsrelation wird benötigt, um den Modaloperator □ zu bewerten ; wir haben das :

w ⊩ □p genau dann, wenn w' ⊩ p für alle w' mit wRw ' .

Mein aufrichtiger Dank!!. Ein paar weitere (naive) Fragen: 1. Warum müssen wir als '(unsere) tatsächliche Welt' die Welt nehmen, in der q falsch und p wahr ist, wie es kanonisch im S5-Modell der Fall ist (wo die s1-Welt hat diese Werte)? Tun wir per se, oder geschieht das willkürlich? In meinem RL-Beispiel sind mit Sicherheit sowohl p als auch q wahr. Bedeutet das, dass ich die Welt, in der p und q wahr sind, als meine „Anfangswelt“ nehmen und dann sehen muss, auf welche Welten von dieser Welt aus zugegriffen werden kann?
_fortsetzung_2. Verstehe ich es richtig, und jede Welt hat nur eine bestimmte Art von Zugänglichkeitsbeziehungen zu einer bestimmten Menge anderer Welten? Das heißt, hat die Welt {p,q} - beide Werte positiv - andere zugängliche Welten als beispielsweise die Welt {p}, und wir müssen nur direkt zugängliche Welten berücksichtigen? Konkret kann ich in diesem Fall {p,q} nicht willkürlich entscheiden, dass meine Welt, sagen wir, eine „reflexive“ Beziehung zu einer anderen Welt hat, wenn dies im Modell nicht der Fall ist?
Fortsetzung 3. Was machen wir, wenn der Vordersatz selbst Modaloperatoren enthält, wie in []p & [] q -> [] (p ->q)? Übersetzen wir die Formeln normalerweise per Standardübersetzung in FOL? Wie machen wir das bei einer Welt {p,q}?
Sie sagten: Die Erreichbarkeitsrelation wird benötigt, um den Modaloperator □ zu bewerten; wir haben das: w ⊩ □p genau dann, wenn w' ⊩ p für alle w' mit wRw'. Und wenn es nicht so ist, dass die Relation reflexiv ist? Ich dachte (nur um Ihnen zu zeigen, wie schwach mein Verständnis ist), dass einige Welten diese Beziehung haben können und andere nicht? Und ich muss jeweils prüfen, welche Relationen da sind?
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