Wie werden Feynman-Regeln im Allgemeinen abgeleitet?

Einige Fragen zur Herleitung von Feynman-Regeln in konkreten Fällen wurden hier bereits gestellt (z . B. Vorzeichen von Feynman-Regeln bei ableitenden Kopplungen , Feynman-Regeln für gekoppelte Systeme , Wie können wir die Feynman-Regel für die gewöhnliche QED 3-Vertex ableiten? , Rezept zur Berechnung von Scheitelfaktoren in Feynman-Diagrammen ). Eine allgemeinere Diskussion scheint jedoch zu fehlen, daher diese Frage.

  1. Wie werden Feynman-Regeln für eine generische Theorie aus der Lagrange-Dichte abgeleitet ? Wie stehen die verschiedenen Methoden (z. B. zweite Quantisierung, funktionale Quantisierung) zueinander? Wann (oder ob) ist einer den anderen vorzuziehen?

  2. Wann und warum sind zusätzliche Komplikationen (wie Faddeev-Popov- Verfahren) bei der Ableitung der Regeln beteiligt?

Obwohl dies eine gute Frage zu sein scheint, ist sie meiner Meinung nach wahrscheinlich zu weit gefasst, um sie (auf dieser Website) sinnvoll und vollständig zu beantworten. Einfach ein Lehrbuch zu lesen scheint ein natürlicherer Weg zu sein.
@Danu Nun, ich erwarte keine extrem lange Antwort, die die gesamte Mathematik im Detail erklärt, die mit dem Prozess der Ableitung von Feynman-Regeln verbunden ist (also wahrscheinlich nur wiederholt, was in den meisten Büchern zu finden ist). Ich halte es eher für eine Frage, die um eine kurze (oder nicht kurze) Zusammenfassung bittet, wie verschiedene Quantisierungsverfahren unter verschiedenen Gesichtspunkten zu Feynman-Regeln führen und was die allgemeinen, wichtigsten Dinge sind, die in den verschiedenen Fällen zu beachten sind . Ebenso für den zweiten Teil der Frage.

Antworten (1)

  1. Der einfachste Weg ist, eine beliebige Prozessamplitude (S-Matrix) zu betrachten, sie in eine Reihe von Konstanten zu erweitern, dann das Wick-Theorem zu verwenden und schließlich zu erhalten, dass die n-te Amplitude aus der Summe über Multiplikationen von allen besteht mögliche Anzahl von Propagatoren und normale Ordnungsfeldoperatoren.

    Manchmal ist es praktisch, nicht-perturbative Methoden zu verwenden. Formal bedeutet dies, dass wir die Wechselwirkungsdarstellung in eine Heisenberg-Darstellung ändern und n-Punkt-Funktionen einführen. Es kann diese n-Punkt-Funktion im Heisenberg-Bild gezeigt werden

    (1) ⟨ | T ^ ( φ ^ 1 H . . . φ ^ n H ) | ⟩
    besteht aus allen Feynman-Diagrammen mit n externe Linien für eine gegebene Theorie. Mit dieser Idee können Sie Feynman-Regeln sogar im nicht-perturbativen Formalismus "beweisen", aber mit Modifikation von Feldern, Masse und Begrenzungskonstanten (LSZ-Theorem).

    Die Verbindung zwischen Operatorformalismus und Pfadintegrationsformalismus liegt in den unterschiedlichen Methoden zur Berechnung von n-Punkt-Funktionen. Zum Beispiel in Sachen Pfadintegration ( 1 ) sieht aus wie

    ⟨ | T ^ ( φ ^ 1 H . . . φ ^ n H ) | ⟩ = [ δ δ J 1 . . . δ δ J n ∫ D φ 1 . . . D φ n e ich S [ φ ] + ich ∫ d 4 x J ich φ ich ] J = 0 .

    Der Pfadintegrationsformalismus ist sehr praktisch, da er die vollständige Aktion der Theorie (nicht nur Interaktionssummanden) enthält und daher alle Informationen über Symmetrien der Theorie enthält. Es hilft, Beziehungen für Scheitelpunktfunktionen abzuleiten (wie Slavnov-Taylor-Identitäten, Ward-Identitäten usw.). Sie können auch Feynman-Regeln "ableiten", indem Sie nur den Formalismus der Pfadintegration verwenden.

  2. Komplikationen der Beschreibung können meistens nur auftreten, wenn Sie nicht-störende Beschreibung für Prozesse verwenden. Es gibt drei Beispiele.

    1. Bei der Verwendung der Standard-Störungstheorie (Erweitern des S-Operators in einer Reihe) berücksichtigen Sie automatisch keine beschränkten Zustände (wie Pion) und topologische Konfigurationen (wie Instantons), die auch in der Wechselwirkungstheorie vorkommen. Aber störungsfreie Methoden erlauben es, diese Komplikationen zu berücksichtigen.

    2. Wenn Sie eine Theorie mit Verbindungen der ersten Art zwischen kanonischen Koordinaten und Impuls annehmen (wie Eichtheorien), müssen Sie dieses Problem beseitigen, da es nicht erlaubt, unabhängige Sätze dynamischer Variablen zu bestimmen (dh die Theorie zu quantisieren). Wenn Sie jedoch eine Eichbedingung verwenden, hilft dies, das Problem zu beseitigen (in der Sprache der Pfadintegration bedeutet dies, dass Sie die Anzahl der Integrationen in den Feldern reduzieren, die auf der Eichbahn liegen), aber die Bezahlung dafür ist das Erscheinen eines fiktiven Feldes (Geister).

    3. Manchmal werden einige Symmetrien in der nicht-perturbativen Beschreibung gebrochen. Beispielsweise ist die Verletzung der CP-Symmetrie (wenn man topologische Konstruktionen im Pfadintegralformalismus annimmt) und der chiralen Symmetrie bekannt.

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