Wiederherstellung der spontan gebrochenen Symmetrie bei hoher Energie

Vorwort: Hohe Temperaturen statt hoher Energien

Es scheint, dass Sie die Wörter "Energie" und "Temperatur" verwechseln, wenn Sie im Kontext Ihrer Frage über die "hohe Skala" lesen. Wie ACuriousMind im Kommentarbereich angemerkt hat, wird die EW-Symmetriegruppe natürlich unabhängig von typischen Energien von Prozessen gebrochen, wenn Sie die Temperatur auf Null festlegen. Die EW-Theorie befindet sich weiterhin in der gebrochenen Phase, da die Symmetrie bricht$v$, das Higgs-Dublett VEV bezeichnet, unabhängig von Energien ungleich Null ist.

In der Frage schreiben Sie jedoch über das frühe Universum, und daraus folgt, dass Sie nicht von der Energieskala, sondern von der Temperaturskala sprechen. Genau, wir haben die Zeit-Temperatur-Beziehung aus der Friedmann-Gleichung, und anstelle des Zeitbegriffs für das Alter des Universums können wir den Begriff der Temperatur verwenden. Du denkst vielleicht, dass du im Universum mit einer Temperatur von Null lebst; aber das frühe Universum ist ein Hochtemperaturuniversum. Ihre Frage bezieht sich nun also auf die Hochtemperaturwiederherstellung der elektroschwachen Symmetrie, dh auf die Temperaturabhängigkeit von Higgs-VEV$v(T)$.

Minustemperaturen: die kostenlose Energie statt der üblichen Energie

Wenn Sie mit Temperaturen ungleich Null zu tun haben, spielen thermische Effekte eine Rolle. Genau genommen wird das thermodynamische System durch das Minimum und nicht durch die Energie beschrieben$E$, aber das große thermodynamische Potential$G$. Heuristisch wird dies erklärt, indem die Struktur des Grundzustands und Anregungen für Temperaturen ungleich Null verändert werden. (hinzugefügt) Bei Nulltemperatur ist das Vakuum der Zustand mit null "echten" Teilchen; es ist jedoch gefüllt mit Quantenfeldern und deren "virtuellen" Anregungen. Bei Nicht-Null-Temperaturen werden diese Anregungen jedoch real, und statt des Null-Teilchen-Zustands haben wir den Zustand mit "Thermalbad". Dies leistet natürlich den Beitrag in beobachteten Mengen; Zum Beispiel ändert es definitiv VEVs, da sie von der Definition des Vakuums abhängen. Ein solcher Unterschied macht es unmöglich, QFT bei endlicher Temperatur zu interpretieren$T$als QFT mit typischen Energien$E \sim T$von Prozessen, wie wir es mit der klassischen Physik aufgrund des Gleichverteilungssatzes tun können. (hinzugefügt)

Im realistischen Fall liegen chemische Potentiale oberhalb der Skala von$1 \text{ GeV}$sind klein, damit$G \approx F$, wo

$$F \equiv F[\varphi ,T]$$ bezeichnet die freie Energie, und $\varphi$bezeichnet die Menge der Theoriefelder.

Wenn der Raum homogen ist, dann

$$F[\varphi , T] = \Omega V_{eff}[T, \varphi ]$$ Der Higgs-VEV $$v(T) \equiv\langle H \rangle,$$ was bricht $SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$bis zu $U_{EM}(1)$, ist also das Minimum von $V_{eff}[\varphi , T]$Anstatt von $V_{eff}[\varphi , 0]$. Letzteres ist zwar durch einschleifenwirksame Wirkung gegeben $\Gamma = \Omega V_{eff}[\varphi , 0]$bei Nulltemperatur (und die übliche Nulltemperatur-QFT wird verwendet), muss erstere unter Verwendung von Nicht-Nulltemperatur-QFT-Methoden berechnet werden.

Dadurch ist es möglich, dass statt$v(0) = v$bei einer Temperatur von Null erhalten wir dies bei einer Temperatur ungleich Null$T_{0}$(und bei größeren)

$$v(T_{0}) = 0,$$ was die exakte Wiederherstellung der Symmetrie bedeutet (d. h. Eichbosonen sind genau bei Temperaturen darüber masselos). $T_{0}$).

Ihre Frage - Berechnung des Higgs-Selbstinteraktionspotentials

Das Problem besteht nun darin, das effektive Potenzial des Higgs-Feldes ungleich Null zu berechnen$V_{eff}(\varphi , T)$. Angenommen, Sie interessieren sich nur für das Selbstinteraktionspotential von Higgs VEV,$V_{eff}[v(T), T]$. Dann müssen Sie die anderen SM-Freiheitsgrade ausschalten und gleichzeitig die Nicht-Null-Temperatureffekte berücksichtigen. Einer der Wege dazu ist die Einführung des Matsubara-Formalismus , für den effektives Potenzial besteht$V_{eff}[v(T), T]$(in sogenannter thermischer Einschleifen-Näherung, wenn wir die Wechselwirkung zwischen Higgs-Dublett und Eichfeldern einfach vernachlässigen, aber den Massenterm der Eichfelder belassen) ergibt sich aus dem thermischen Pfadintegral als

$$\tag 1 e^{-\beta V_{eff}[v(T) , T]} = \int D[\varphi]e^{-S^{\beta}[\varphi]},$$ wo $S_{\beta}[\varphi]$ist thermische Wirkung, $$S_{\beta}[\varphi] \equiv \int \limits_{0}^{\beta}d\tau \int d^{3}\mathbf x \left( \frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F_{\mu \nu}^{a} + \frac{m^{2}(v(T))}{2}A_{\mu}^{a}A_{\mu}^{a}\right)$$ $\tau$ist euklidische Zeit und $\beta$ist umgekehrte Temperatur.

Hier schreibe ich nur SM-Boson-Freiheitsgrade, da in der Infrarotzone, die bestimmt$V_{eff}[v(T), T]$, nur sie sind relevant. Dies gilt, da Matsubara-Frequenzen, die das Analogon der üblichen Fourier-Frequenzen (und damit Energien) für Temperaturen ungleich Null sind, für Bosonen bei Null beginnen, während sie für die Fermionen nicht bei Null beginnen, und daher sind letztere irrelevant. Dann musst du dich integrieren$A_{\mu}$aus.

Die Tatsache, dass unterhalb einer solchen Skala$v(T)$Null sein kann, lässt die Aussage zu, dass es einen solchen Phasenübergang in SM gibt (erste-zweite Art oder nur die Überkreuzung).

Leider störende Behandlung für die Berechnung$V_{eff}[v(T), T]$scheitert. Hier verwende ich das „Stören“ in dem Sinne, dass wir naiverweise erwarten, dass die Expansion konstant für das effektive Potential ist$\frac{v(T)}{T}$, die in der Nähe des Übergangs definitiv klein ist. Wenn es wahr ist, dann können wir eine Berechnung der effektiven Aktion in einer Schleife verwenden, was einfach ist. Allerdings entstehen sogenannte Infrarot-Probleme: Die wahre Ausdehnung ist konstant$\frac{T}{v(T)}$. Dies kann mit Hilfe des Matsubara-Formalismus gezeigt werden$(1)$. Also die Berechnung von$V_{eff}[T, v(T)]$ist die große Herausforderung. Wir müssen störungsfreie Methoden verwenden, um es zu bewerten. Eine der leistungsfähigen Methoden ist die Gitterquantenfeldtheorie.

Es gibt jedoch ein heuristisches Argument dafür, was wir vom EW-Phasenübergang erwarten. Der Wert von$v(T)$selbst ist nicht eichinvariant. Es kann jedoch als angegeben werden

$$v^{2}(T) \equiv \langle \text{vac}| H^{\dagger}H|\text{vac}\rangle$$ Die obige Größe kann jedoch nicht als Ordnungsparameter verwendet werden, da sie unter allen expliziten Symmetrietransformationen in SM invariant ist. Wir erwarten dann, dass Phasen mit gebrochener und ungebrochener Symmetrie nicht unterscheidbar sind, also kein Phasenübergang der zweiten Art). Die Gittersimulationen zeigen, dass dies zutrifft (dh der Phasenübergang ist wirklich die erste Art für kleine Higgs-Boson-Massen und ein Crossover für realistische Higgs-Boson-Massen). $m \approx 125\text{ GeV}$).